基本問題34 斜方投射

設問(1)　最高点に達するまでの時間

直感的理解
斜方投射では、鉛直成分が $v_y = v_{0y} - gt$ で減少し、最高点で $v_y = 0$ になります。水平成分 $v_x$ は常に一定です。最高点への到達時間は鉛直成分だけで決まります。

立式：鉛直方向の速度は $v_y = v_0\sin\theta - gt$ です。最高点で $v_y = 0$ とおくと：

$$v_0\sin\theta - gt_1 = 0$$

$t_1$ について解くと：

$$gt_1 = v_0\sin\theta \quad \Longrightarrow \quad t_1 = \frac{v_0\sin\theta}{g}$$
答え：
$$t_1 = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}$$
Point

斜方投射の最高点到達時間は $t_1 = v_0 \sin\theta / g$。鉛直成分だけに着目する。

設問(2)　最高点の高さ $H$

直感的理解
最高点の高さは $H = v_{0y}^2 / (2g)$。角度をドラッグして、投射角が大きいほど高く上がること（ただし水平到達距離は短くなること）を確認しましょう。

立式：鉛直方向の変位を $y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2$ に、$t = t_1 = \frac{v_0\sin\theta}{g}$ を代入します：

$$H = v_0\sin\theta \cdot \frac{v_0\sin\theta}{g} - \frac{1}{2}g\!\left(\frac{v_0\sin\theta}{g}\right)^{\!2}$$ $$= \frac{v_0^2\sin^2\theta}{g} - \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$
答え：
$$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$$
Point

最高点の高さは $H = v_0^2 \sin^2\theta / (2g)$。鉛直成分 $v_{0y}$ だけで決まる。

設問(3)　水平到達距離 $R$

直感的理解
水平到達距離は水平成分 $\times$ 滞空時間です。滞空時間は $2t_1 = 2v_{0y}/g$ で、水平成分と掛け合わせると $R = v_0^2 \sin 2\theta / g$ となります。$\theta = 45°$ のとき $R$ は最大です。

立式：滞空時間は最高点到達時間の2倍で $T = 2t_1 = \frac{2v_0\sin\theta}{g}$ です。水平到達距離は：

$$R = v_{0x} \times T = v_0\cos\theta \times \frac{2v_0\sin\theta}{g}$$

$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ を使うと：

$$R = \frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g} = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$$
答え：
$$R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$$
Point

$R = v_0^2 \sin 2\theta / g$。$\theta = 45°$ で $\sin 90° = 1$ となり $R$ が最大。補角の関係 $\theta$ と $90° - \theta$ で同じ $R$ になる。

💡 補足：水平・鉛直の独立性

斜方投射では水平方向と鉛直方向の運動は互いに独立です。水平方向は等速直線運動、鉛直方向は自由落下（等加速度運動）として別々に解き、時刻 \(t\) で結びつけます。

🧮 具体的な数値例

たとえば \(v_0 = 20\) m/s、\(\theta = 30°\) で投射した場合：

$$v_{0x} = 20 \times \cos 30° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \fallingdotseq 17.3 \text{ m/s}$$ $$v_{0y} = 20 \times \sin 30° = 20 \times 0.5 = 10 \text{ m/s}$$ $$\text{最高点の高さ：} H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \times 9.8} \fallingdotseq 5.1 \text{ m}$$