直感的理解

水平方向には力がはたらかないので、水平速度 $v_x = v_0 \cos\theta$ は投げた瞬間から着地まで一定です。スライダーで角度を変えて、$v_x$ の矢印の長さが飛行中ずっと同じであることを確認しましょう。

斜方投射では水平方向に力がはたらかない（空気抵抗無視）ため、水平方向の運動方程式は：

$$ m\frac{dv_x}{dt} = 0 \quad \Longrightarrow \quad v_x = v_0 \cos\theta = \text{const.} $$

例えば $v_0 = 20$ m/s、$\theta = 45°$ のとき：

$$ v_x = 20 \times \cos 45° = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \fallingdotseq 14.1 \text{ m/s} $$

この値は飛行中のどの時刻でも変わりません。

答え：
$v_x = v_0 \cos\theta$ [m/s]（落下するまで一定）

補足：なぜ水平成分だけが一定なのか

重力 $mg$ は鉛直下向きにのみ作用します。水平方向の加速度は $a_x = 0$ なので、水平速度は初期値のまま保存されます。一方、鉛直方向には $a_y = -g$ が常にはたらくため、$v_y$ は刻々と変化します。

ニュートンの運動方程式で書くと：

$$ \text{水平: } ma_x = 0 \implies v_x(t) = v_0\cos\theta $$ $$ \text{鉛直: } ma_y = -mg \implies v_y(t) = v_0\sin\theta - gt $$

Point

斜方投射の水平成分は常に一定。重力は鉛直方向にしかはたらかないため、水平方向は等速直線運動。

直感的理解

鉛直方向の初速度成分 $v_{0y} = v_0 \sin\theta$ が最高点の高さと滞空時間を決定します。$\theta$ が大きいほど鉛直成分が増え、最高点が高くなります。

初速度 $v_0$ を水平・鉛直に分解すると：

$$ v_{0x} = v_0 \cos\theta, \quad v_{0y} = v_0 \sin\theta $$

鉛直方向の初速度 $v_{0y}$ から最高点の高さ $H$ と滞空時間 $T$ が決まります：

$$ H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g} $$ $$ T = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2v_0 \sin\theta}{g} $$

水平到達距離（飛距離）$R$ は $v_x \times T$ で求められます：

$$ R = v_0 \cos\theta \times \frac{2v_0 \sin\theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} $$

答え：
$v_{0y} = v_0 \sin\theta$ [m/s]

別解：飛距離の公式から角度を求める

水平到達距離 $R$ が与えられている場合、飛距離の公式から $\theta$ を逆算できます：

$$ R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} \quad \Longrightarrow \quad \sin 2\theta = \frac{Rg}{v_0^2} $$

$R$ が最大になるのは $\sin 2\theta = 1$、すなわち $\theta = 45°$ のとき：

$$ R_{\max} = \frac{v_0^2}{g} $$

Point

斜方投射の初速度分解：$v_{0x} = v_0\cos\theta$、$v_{0y} = v_0\sin\theta$。飛距離は $R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$ で、$\theta = 45°$ で最大。

基本問題35 斜方投射