直感的理解

台の高さ $39.2\;\mathrm{m}$ に、鉛直上向き成分による上昇分 $v_{0y}^2/(2g)$ を足したものが最高点の地上高です。$v_{0y} = 9.8\;\mathrm{m/s}$ なので上昇分は $4.9\;\mathrm{m}$。

立式：まず鉛直成分を求めます：

$$v_{0y} = v_0 \sin 30° = 19.6 \times 0.50 = 9.8\;\mathrm{m/s}$$

上昇分の高さは $\Delta h = \frac{v_{0y}^2}{2g}$ なので：

$$\Delta h = \frac{9.8^2}{2 \times 9.8} = \frac{96.04}{19.6} = 4.9\;\mathrm{m}$$

最高点の地上からの高さは、台の高さに上昇分を足して：

$$y_{max} = h_0 + \Delta h = 39.2 + 4.9 = 44.1\;\mathrm{m}$$

答え：
$$y_{max} \fallingdotseq 44\;\mathrm{m}$$

Point

高台からの投射では、最高点の高さ＝台の高さ $h_0$ + 上昇分 $v_{0y}^2/(2g)$。

直感的理解

地面到達は $y = 0$ のとき。$y$-$t$ グラフが横軸と交わる点を求めます。2次方程式を因数分解すると $t = 4.0\;\mathrm{s}$ が得られます。

立式：地面到達は $y = 0$ のとき。鉛直方向の運動方程式に数値を代入します：

$$y = h_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$$ $$39.2 + 9.8t - 4.9t^2 = 0$$

$-4.9$ で割ると：

$$t^2 - 2t - 8 = 0$$

因数分解して：

$$(t - 4)(t + 2) = 0$$

$t > 0$ より $t = 4.0\;\mathrm{s}$

答え：
$$t = 4.0\;\mathrm{s}$$

Point

高台からの斜方投射では、$y = 0$ の2次方程式を解く。$t > 0$ の解を選ぶこと。

直感的理解

水平到達距離は水平速度成分 $v_{0x}$ と飛行時間の積です。高台からの投射なので、平地での斜方投射よりも飛行時間が長く、水平到達距離も大きくなります。

立式：水平速度成分を求めます：

$$v_{0x} = v_0\cos 30° = 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \fallingdotseq 17.0\;\mathrm{m/s}$$

水平到達距離は $R = v_{0x} \times t$ に (2) の $t = 4.0\;\mathrm{s}$ を代入：

$$R = 17.0 \times 4.0 = 67.9\;\mathrm{m}$$

答え：
$$R \fallingdotseq 68\;\mathrm{m}$$

Point

水平到達距離 $R = v_{0x} \times t$。高台からの投射では (2) で求めた長い飛行時間を使うこと。

💡 補足：水平・鉛直の独立性

斜方投射では水平方向と鉛直方向の運動は互いに独立です。水平方向は等速直線運動、鉛直方向は自由落下（等加速度運動）として別々に解き、時刻 $t$ で結びつけます。

基本問題36 斜方投射