基本例題6 自由落下

設問(1)　9.8 m 落下する時間 $t_1$

直感的理解
自由落下とは、初速度 0 で重力だけを受けて落ちる運動です。落下距離は時間の2乗に比例するため、最初はゆっくり、だんだん速くなります。半分の高さまで落ちる時間は全体の落下時間の $1/\sqrt{2} \fallingdotseq 0.707$ 倍、つまり「半分の時間」ではありません。

設定：下向きを正とし、$v_0 = 0$、$g = 9.8\;\mathrm{m/s^2}$、落下距離 $y = 9.8\;\mathrm{m}$。

立式：$y = \frac{1}{2}gt^2$ を使います。

計算：

$$9.8 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_1^2$$ $$t_1^2 = \frac{2 \times 9.8}{9.8} = 2.0$$ $$t_1 = \sqrt{2.0} = 1.41... \fallingdotseq 1.4\;\mathrm{s}$$
答え：
$$t_1 \fallingdotseq 1.4\;\mathrm{s}$$
Point

自由落下では $v_0 = 0$ なので、変位の式が $y = \frac{1}{2}gt^2$ とシンプルになる。時間を求めるときは $t = \sqrt{2y/g}$。

設問(2)　半分の高さの地点の速さ $v_1$

直感的理解
自由落下では $v = gt$ なので、速度は時間に比例して増加します。$v$-$t$ グラフは原点を通る直線です。(1) で求めた $t_1 = 1.41$ s を代入すれば速さが求まります。

立式：$v = gt$ に $t_1 = \sqrt{2.0}\;\mathrm{s}$ を代入します。

計算：

$$v_1 = 9.8 \times \sqrt{2.0} = 9.8 \times 1.41... = 13.8... \fallingdotseq 14\;\mathrm{m/s}$$
答え：
$$v_1 \fallingdotseq 14\;\mathrm{m/s}$$
Point

$v = gt$ は自由落下の速度と時間の関係式。(1) で求めた時間をそのまま代入すれば速さが得られる。

設問(3)　地面に衝突する直前の速さ $v_2$

直感的理解
$v^2 = 2gy$ は「時間を含まない式」で、落下距離と速さを直接結びつけます。高さ 19.6 m から落ちた直後の速さを一発で求められ、$t$ を経由する必要がありません。グラフ上の点をドラッグして $v = \sqrt{2gy}$ の関係を確かめましょう。

立式：時間を含まない式 $v^2 = 2gy$ を使います。$y = 19.6\;\mathrm{m}$ を代入します。

計算：

$$v_2^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6 = 384.16$$ $$v_2 = \sqrt{384.16} = 19.6... \fallingdotseq 20\;\mathrm{m/s}$$
答え：
$$v_2 \fallingdotseq 20\;\mathrm{m/s}$$
別解：$v = gt$ を使う方法

まず全落下時間 $t_2$ を求めます。

$$19.6 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_2^2 \implies t_2 = 2.0\;\mathrm{s}$$

次に $v_2 = gt_2$ を計算します。

$$v_2 = 9.8 \times 2.0 = 19.6 \fallingdotseq 20\;\mathrm{m/s}$$
Point

$v^2 = 2gy$ は時間が不要な場面で特に便利。落下距離 $y$ から直接速さ $v$ が求まる。$v = \sqrt{2gy}$ と覚えておこう。