基本例題7 鉛直投げ上げ

設問(1)　最高点に達する時間 $t_1$

直感的理解
最高点では速度がゼロになる瞬間です。上に投げた球は重力でだんだん減速し、$v = 0$ になった瞬間が最高点。つまり「$v = 0$ を解けば最高点の時刻がわかる」のです。

設定：屋上を原点、上向きを正。$v_0 = 29.4\;\mathrm{m/s}$、$a = -g = -9.8\;\mathrm{m/s^2}$。

立式：最高点では $v = 0$ なので $v = v_0 - gt$ より

計算：

$$0 = 29.4 - 9.8 \times t_1$$ $$9.8\,t_1 = 29.4 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{29.4}{9.8} = 3.0\;\mathrm{s}$$
答え：
$$t_1 = 3.0\;\mathrm{s}$$
Point

最高点 $\Leftrightarrow$ $v = 0$。鉛直投げ上げの最高点時刻は $t_1 = v_0/g$。

設問(2)　最高点の高さ $h$

直感的理解
最高点の高さは初速度の2乗に比例します（$h = v_0^2 / 2g$）。初速度を2倍にすると最高点は4倍になります。点をドラッグしてこの関係を体感しましょう。

立式：$y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$ に $t_1 = 3.0$ s を代入します。

計算：

$$h = 29.4 \times 3.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3.0^2$$ $$= 88.2 - 4.9 \times 9.0 = 88.2 - 44.1 = 44.1 \fallingdotseq 44\;\mathrm{m}$$
答え：
$$h \fallingdotseq 44\;\mathrm{m}$$
別解：$v^2 - v_0^2 = -2gy$ を使う方法

最高点で $v = 0$ なので

$$0 - 29.4^2 = -2 \times 9.8 \times h$$ $$h = \frac{29.4^2}{2 \times 9.8} = \frac{864.36}{19.6} = 44.1 \fallingdotseq 44\;\mathrm{m}$$
Point

最高点の高さは $h = \dfrac{v_0^2}{2g}$（$v^2 = v_0^2 - 2gh$ で $v = 0$ とおいた結果）。

設問(3)　屋上にもどるまでの時間 $t_2$

直感的理解
鉛直投げ上げの $y$-$t$ グラフは放物線で、最高点を軸に左右対称です。上昇に $t_1$ かかるなら、下降にも同じ $t_1$ かかるので、もどる時間は $t_2 = 2t_1$ です。

方法1（対称性）：上昇と下降は対称なので

$$t_2 = 2t_1 = 2 \times 3.0 = 6.0\;\mathrm{s}$$

方法2（$y = 0$ を解く）：

$$0 = 29.4\,t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 = t(29.4 - 4.9\,t)$$

$t = 0$（投げた瞬間）と $t = \dfrac{29.4}{4.9} = 6.0\;\mathrm{s}$ が得られます。

答え：
$$t_2 = 6.0\;\mathrm{s}$$
Point

もとの高さにもどる $\Leftrightarrow$ $y = 0$。対称性から $t_2 = 2t_1 = 2v_0/g$。

設問(4)　ビルの高さ $H$（$t = 9.0$ s 後）

直感的理解
$t = 9.0$ s のとき小球は屋上（原点）より下にいます。$y$ の値が負になり、その絶対値 $|y|$ がビルの高さ $H$ に相当します。

立式：$y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$ に $t = 9.0$ s を代入します。

計算：

$$y = 29.4 \times 9.0 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 9.0^2$$ $$= 264.6 - 4.9 \times 81.0 = 264.6 - 396.9 = -132.3\;\mathrm{m}$$

$y < 0$ なので小球は屋上より下（地面）にいます。ビルの高さ $H$ は $|y|$ です。

$$H = |y| = 132.3 \fallingdotseq 1.3 \times 10^2\;\mathrm{m}$$
答え：
$$H = 1.3 \times 10^2\;\mathrm{m}$$
Point

$y$ が負になったらそれは原点（屋上）より下を意味する。地面に到達した後の $|y|$ がビルの高さになる。