基本例題8 水平投射

設問(1)　地面に当たるまでの時間 $t$

直感的理解
水平投射の落下時間は水平方向の速度に関係しません。鉛直方向だけで考えれば、高さ $h$ からの自由落下と同じで $t = \sqrt{2h/g}$ です。水平に速く投げても遅く投げても、地面に着くまでの時間は同じです。

設定：投げた点を原点、水平方向を $x$ 軸、鉛直下向きを $y$ 軸。

立式：$y$ 方向は自由落下なので $y = \frac{1}{2}gt^2$。地面到達時 $y = 14.7$ m。

計算：

$$14.7 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 = 4.9\,t^2$$ $$t^2 = \frac{14.7}{4.9} = 3.0 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{3.0} = 1.73... \fallingdotseq 1.7\;\mathrm{s}$$
答え：
$$t = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.7\;\mathrm{s}$$
Point

水平投射の落下時間は鉛直方向だけで決まる。$y = \frac{1}{2}gt^2$ から $t = \sqrt{2h/g}$。

設問(2)　水平方向に飛んだ距離 $x$

直感的理解
水平方向は等速直線運動なので、飛距離は $x = v_0 \times t$ です。落下時間 $t$ が（高さで）決まっているため、飛距離は初速度 $v_0$ に正比例します。

立式：$x = v_0 t$ に $v_0 = 9.8$ m/s、$t = \sqrt{3}$ s を代入。

計算：

$$x = 9.8 \times \sqrt{3} = 9.8 \times 1.73... = 16.97... \fallingdotseq 17\;\mathrm{m}$$
答え：
$$x \fallingdotseq 17\;\mathrm{m}$$
Point

水平方向の飛距離は $x = v_0 t = v_0 \sqrt{2h/g}$。等速直線運動なので計算はシンプル。

設問(3)　地面に当たるときの速度 $V$ と角度 $\theta$

直感的理解
着地直前の速度は、水平成分 $v_x$（一定）と鉛直成分 $v_y$（増加中）をベクトル合成したものです。$v_x$ と $v_y$ が直角三角形の2辺、$V$ が斜辺に対応します。

速度成分：

速さの合成：

$$V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{9.8^2 + (9.8\sqrt{3})^2} = \sqrt{96.04 + 288.12} = \sqrt{384.16} = 19.6... \fallingdotseq 20\;\mathrm{m/s}$$

角度：$v_x : v_y = 9.8 : 9.8\sqrt{3} = 1 : \sqrt{3}$ は $1 : 2 : \sqrt{3}$ の直角三角形なので $\theta = 60°$。

答え：
$$V \fallingdotseq 20\;\mathrm{m/s},\quad \theta = 60°$$
別解：三角形の辺の比を使わない方法

$\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{9.8\sqrt{3}}{9.8} = \sqrt{3}$ より $\theta = 60°$

Point

着地時の速度は $V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$、角度は $\tan\theta = |v_y/v_x|$。水平投射では $v_x$ は一定で $v_y$ だけが増加する。