基本例題9 斜方投射

設問(1)　最高点に達するまでの時間 $t_1$

直感的理解
鉛直成分 $v_{0y} = v_0 \sin 30° = 10$ m/s の鉛直投げ上げと同じです。最高点で $v_y = 0$ になる時刻が $t_1$ です。

初速度の分解：

立式：最高点で $v_y = 0$ なので $v_y = v_{0y} - gt_1 = 0$ より

計算：

$$0 = 10 - 9.8 \times t_1 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{10}{9.8} = 1.02... \fallingdotseq 1.0\;\mathrm{s}$$
答え：
$$t_1 \fallingdotseq 1.0\;\mathrm{s}$$
Point

斜方投射の最高点時刻は $t_1 = \dfrac{v_0 \sin\theta}{g}$。鉛直成分だけで考えれば鉛直投げ上げと同じ。

設問(2)　最高点の高さ $h$ と水平距離 $x_1$

直感的理解
最高点の高さは鉛直成分 $v_{0y}$ だけで決まります（$h = v_{0y}^2/2g$）。水平距離 $x_1$ は最高点までの時間 $t_1$ の間に水平に進んだ距離です。角度を変えると $h$ と $x_1$ のバランスが変わるのを確認しましょう。

最高点の高さ：$v^2 - v_{0y}^2 = -2gh$ で $v = 0$ より

$$h = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \times 9.8} = \frac{100}{19.6} = 5.10... \fallingdotseq 5.1\;\mathrm{m}$$

水平距離：$x_1 = v_{0x} \times t_1$

$$x_1 = 10\sqrt{3} \times 1.02 = 17.3 \times 1.02 = 17.6... \fallingdotseq 18\;\mathrm{m}$$
答え：
$$h \fallingdotseq 5.1\;\mathrm{m},\quad x_1 \fallingdotseq 18\;\mathrm{m}$$
Point

最高点の高さ $h = \dfrac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g}$、最高点までの水平距離 $x_1 = v_0 \cos\theta \cdot t_1$。

設問(3)　もどるまでの時間 $t_3$ と水平到達距離 $x_2$

直感的理解
斜方投射の軌跡は最高点を軸に対称です。もどる時間 $t_3 = 2t_1$、到達距離 $x_2 = 2x_1$ という美しい関係があります。

対称性より：

$$t_3 = 2t_1 = 2 \times 1.02 = 2.04... \fallingdotseq 2.0\;\mathrm{s}$$

水平到達距離：

$$x_2 = v_{0x} \times t_3 = 10\sqrt{3} \times 2.04 = 17.3 \times 2.04 = 35.3... \fallingdotseq 35\;\mathrm{m}$$
答え：
$$t_3 \fallingdotseq 2.0\;\mathrm{s},\quad x_2 \fallingdotseq 35\;\mathrm{m}$$
補足：水平到達距離の公式

水平到達距離は次の公式でも求められます。

$$l = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$$

$\theta = 30°$ のとき $\sin 60° = \sqrt{3}/2$ なので

$$l = \frac{20^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8} = \frac{400 \times 0.866}{9.8} = \frac{346.4}{9.8} = 35.3\;\mathrm{m}$$

この公式から、$\theta = 45°$ のとき水平到達距離が最大になることもわかります（$\sin 2\theta = \sin 90° = 1$）。

Point

斜方投射の水平到達距離は $l = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$。$\theta = 45°$ で最大値 $v_0^2/g$ をとる。