張力と質量の関係

物体Aのつりあい：

Aにはたらく力：重力 \(mg\)（下）、天井への張力 \(T_A\)（鉛直から45°）、水平張力 \(T\)（右）

$$ \text{鉛直: } T_A \cos 45° = mg \quad \cdots (1) $$ $$ \text{水平: } T_A \sin 45° = T \quad \cdots (2) $$

(1) より \(T_A = \dfrac{mg}{\cos 45°} = \sqrt{2}\, mg\)。(2) に代入して \(T = \sqrt{2}\, mg \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = mg\)。

物体Bのつりあい：

$$ \text{鉛直: } T_B \cos 30° = Mg \quad \cdots (3) $$ $$ \text{水平: } T_B \sin 30° = T \quad \cdots (4) $$

ア：\(T_B\) と \(T_A\) の関係

(2) と (4) より \(T\) は共通なので：

$$ T_A \sin 45° = T_B \sin 30° \quad \Longrightarrow \quad T_A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = T_B \cdot \frac{1}{2} $$ $$ \therefore \quad T_B = \sqrt{2}\, T_A $$

イ：\(M\) と \(m\) の関係

(1) と (3) から \(T_A = \frac{mg}{\cos 45°}\), \(T_B = \frac{Mg}{\cos 30°}\)。ア の結果を代入：

$$ \frac{Mg}{\cos 30°} = \sqrt{2} \cdot \frac{mg}{\cos 45°} \quad \Longrightarrow \quad \frac{M}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{m}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $$ $$ M = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2m = \sqrt{3}\, m $$

別解：水平張力を直接使う方法

AとBの水平方向のつりあいから直接 \(T\) を求めます。

$$ \text{A: } T = mg \tan 45° = mg $$ $$ \text{B: } T = Mg \tan 30° = \frac{Mg}{\sqrt{3}} $$

\(T\) が共通なので：

$$ mg = \frac{Mg}{\sqrt{3}} \quad \Longrightarrow \quad M = \sqrt{3}\, m $$

この方法では \(\tan\) を使うことで鉛直・水平の式を1つにまとめられ、1ステップで求まります。