応用問題62 滑車につるした板上の人のつりあい

設問(1) 別の人がひもを引く場合

直感的理解
図1では別の人がひもを引いているので、板+人の系にはたらく力は「重力（下）」と「ひもの張力 $T_1$（上）」の2力だけです。滑車がなめらかなのでひもの張力はどこでも $T_1$ です。

着目：人+板の系全体（質量 $m_1 + m_2$）

はたらく力：重力 $(m_1 + m_2)g$（下）、ひもの張力 $T_1$（上）

つりあいの式（鉛直方向、上向き正）：

$$ T_1 - (m_1 + m_2)g = 0 $$ $$ T_1 = (m_1 + m_2)g $$

例えば $m_1 = 60$ kg, $m_2 = 30$ kg, $g = 9.8$ m/s² のとき：

$$ T_1 = (60 + 30) \times 9.8 = 90 \times 9.8 = 882 \text{ N} $$
答え：
$$T_1 = (m_1 + m_2)g$$
Point

滑車の問題では、着目する系（物体のまとまり）を適切に選ぶことで式が簡単になる。内力（系内の力）は考えなくてよい。

設問(2) 板に乗っている人が自分でひもを引く場合

直感的理解
図2では人が自分でひもを引いています。このとき、ひもは板側と人の手側の2箇所で系（人+板）につながっています。滑車がなめらかなので張力はどこでも $T_2$。したがって人+板の系には上向きの力が $T_2$ 2本分かかります。設問(1) と比べて $T_2 < T_1$ となる（自分で引く方が楽）のが面白いところです。

人+板の系全体のつりあい：

ひもは「板に固定された端」と「人が持つ端」の2箇所で系に接しているので、上向きの力は $2T_2$ です。

$$ 2T_2 - (m_1 + m_2)g = 0 $$ $$ T_2 = \frac{(m_1 + m_2)g}{2} $$

人だけの鉛直方向のつりあい：

人にはたらく力：重力 $m_1 g$（下）、板からの垂直抗力 $N_2$（上）、ひもの張力 $T_2$（上）

$$ N_2 + T_2 - m_1 g = 0 $$ $$ N_2 = m_1 g - T_2 = m_1 g - \frac{(m_1 + m_2)g}{2} $$ $$ N_2 = \frac{2m_1 g - (m_1 + m_2)g}{2} = \frac{(m_1 - m_2)g}{2} $$
答え：
$$T_2 = \frac{(m_1 + m_2)g}{2}, \quad N_2 = \frac{(m_1 - m_2)g}{2}$$
補足：設問(1)と(2)の比較

$T_1 = (m_1 + m_2)g$ に対して $T_2 = \dfrac{(m_1 + m_2)g}{2}$。つまり $T_2 = \dfrac{T_1}{2}$。

自分でひもを引く場合は、ひもが系に2箇所で接するので必要な力が半分になります。これは動滑車と同じ原理です。

ただし $m_1 > m_2$ が必要条件です。$m_1 < m_2$ では $N_2 < 0$ となり、人が板から浮いてしまうので実現不可能です。

Point

滑車の問題では、ひもが系に何箇所で接しているかを数えることが大切。自分で引く場合は2箇所接するので力は半分。「着目する物体」を変えると別の未知量が求まる。