図1：ばね1本 + 小球1個

ばねにかかる力：ばね1本で小球1個をつるしています。つりあいの式より、ばねの弾性力 = 重力：

$$ kx = mg \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{mg}{k} $$

全長 $l_1$：天井からばねの自然の長さ $l$（2本分）と伸び $x$ を合わせて：

$$ l_1 = 2l + x = 2l + \frac{mg}{k} $$

図2：連結棒の中央にばね + 両端に小球

上のばね：連結棒 + 下のばね + 下の小球 + 上の小球の重力を支えます。ばねと連結棒は軽いので、上のばねにかかる力は $2mg$ です。

$$ kx_{\text{上}} = 2mg \quad \Longrightarrow \quad x_{\text{上}} = \frac{2mg}{k} $$

下のばね：下の小球の重力 $mg$ のみを支えます。

$$ kx_{\text{下}} = mg \quad \Longrightarrow \quad x_{\text{下}} = \frac{mg}{k} $$

全長 $l_2$：自然の長さ $l$ のばね2本 + それぞれの伸びの合計：

$$ l_2 = 2l + x_{\text{上}} + x_{\text{下}} = 2l + \frac{2mg}{k} + \frac{mg}{k} = 2l + \frac{3mg}{k} $$

補足：ばねの直列連結と合成ばね定数

同じばね定数 $k$ のばね2本を直列につないだ場合の合成ばね定数は $k/2$ です。

しかしこの問題では、上下のばねにかかる力が異なる（$2mg$ と $mg$）ため、単純な「直列ばね」の公式は使えません。各ばねに個別につりあいの式を立てる必要があります。

もし2本とも同じ力 $F$ がかかる純粋な直列の場合：全伸び $= 2F/k$ で、合成ばね定数 $k' = F/(2F/k) = k/2$ となります。

🧮 具体的な数値例

たとえば \(k = 100\) N/m のばねに \(m = 1.0\) kg のおもりを付けた場合：

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1.0}} = 10 \text{ rad/s}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} \fallingdotseq 0.63 \text{ s}$$ $$\text{振幅 } A = 0.05 \text{ m のとき最大速度：} v_{\max} = A\omega = 0.05 \times 10 = 0.50 \text{ m/s}$$