基本問題45 力の分解

(1)〜(3) 方眼から読み取る力の成分

直感的理解
方眼上のベクトルの成分は、ベクトルの先端から各軸に垂線を下ろした「影」の長さです。上のシミュレーションをクリック/タップすると、各ベクトルを個別に表示し、成分を確認できます。

方眼の読み取り：1目盛り = 1N なので、ベクトルの先端座標がそのまま成分になります。

(1) 右に3目盛り、上に4目盛り：

(2) 左に2目盛り、上に3目盛り：

(3) 左に3目盛り、下に4目盛り：

答え：
(1) $F_x = 3$ N, $F_y = 4$ N
(2) $F_x = -2$ N, $F_y = 3$ N
(3) $F_x = -3$ N, $F_y = -4$ N

(4)〜(6) 角度を使った力の分解

直感的理解
角度がついた力の分解は「三角関数の出番」。$x$ 軸となす角 $\theta$ の力 $F$ に対して、$F_x = F\cos\theta$、$F_y = F\sin\theta$ です。(5)は2力の合力の成分を求める問題で、各力の成分の和が合力の成分になります。

(4) $F = 6.0$ N、$x$ 軸と 60° の角をなす力を分解します。

力の成分は $F_x = F\cos\theta$, $F_y = F\sin\theta$ で求めます。

$$ F_x = F\cos 60° = 6.0 \times \frac{1}{2} = 3.0 \text{ N} $$ $$ F_y = F\sin 60° = 6.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \fallingdotseq 5.2 \text{ N} $$

(5) $\vec{F}_1$ の成分 $(3, 0)$ N と $\vec{F}_2$ の成分 $(-2, 3)$ N の合力を求めます。

合力は各力の成分の和です。

$$ F_x = F_{1x} + F_{2x} = 3 + (-2) = 1 \text{ N} $$ $$ F_y = F_{1y} + F_{2y} = 0 + 3 = 3 \text{ N} $$

(6) 重力 $6.0$ N が鉛直下向き、$x$ 軸が水平から 30° 下方向の座標系に分解します。

$$ F_x = F\cos 30° = 6.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \fallingdotseq 5.2 \text{ N} $$ $$ F_y = -F\sin 30° = -6.0 \times \frac{1}{2} = -3.0 \text{ N} $$
答え：
(4) $F_x = 3.0$ N, $F_y = 5.2$ N
(5) $F_x = 1$ N, $F_y = 3$ N
(6) $F_x \fallingdotseq 5.2$ N, $F_y = -3.0$ N
補足：三角関数の値の確認

力の分解で頻出する三角関数の値：$\sin 30° = \frac{1}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$。これらを使って $F\cos\theta$, $F\sin\theta$ を計算します。

Point

力の成分は $F_x = F\cos\theta$, $F_y = F\sin\theta$。合力の成分は各力の成分の和。方眼ではベクトルの先端座標を読む。