糸でつるした物体のつりあい

(1) 天井と壁に糸で固定された物体

重さ $W = 6.0$ N の物体を、天井から斜め糸（張力 $T_1$）と壁への水平糸（張力 $T_2$）で支えます。斜め糸が鉛直となす角を $\theta$ とします。糸の取り付け位置から $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$, $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$ とします。

つりあいの式：

鉛直方向のつりあい：

$$T_1 \cos\theta = W \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{W}{\cos\theta} = \frac{6.0}{\;\dfrac{4}{5}\;} = 7.5 \text{ N}$$

水平方向のつりあい：

$$T_2 = T_1 \sin\theta = 7.5 \times \frac{3}{5} = 4.5 \text{ N}$$

(2) 2本の斜め糸で天井からつるす

重さ $W = 3.6$ N の物体を、角度の異なる2本の糸で天井からつるします。$\sin\theta_1 = \dfrac{3}{5}$, $\cos\theta_1 = \dfrac{4}{5}$, $\sin\theta_2 = \dfrac{4}{5}$, $\cos\theta_2 = \dfrac{3}{5}$ とします。

鉛直方向のつりあい：

$$T_1 \cos\theta_1 + T_2 \cos\theta_2 = W \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{5}T_1 + \frac{3}{5}T_2 = 3.6 \quad \cdots (1)$$

水平方向のつりあい：

$$T_1 \sin\theta_1 = T_2 \sin\theta_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{5}T_1 = \frac{4}{5}T_2 \quad \Rightarrow \quad T_1 = \frac{4}{3}T_2 \quad \cdots (2)$$

(2)を(1)に代入して $T_2$ を求めます：

$$\frac{4}{5} \times \frac{4}{3}T_2 + \frac{3}{5}T_2 = 3.6 \quad \Rightarrow \quad \frac{16}{15}T_2 + \frac{9}{15}T_2 = 3.6 \quad \Rightarrow \quad \frac{25}{15}T_2 = 3.6$$ $$T_2 = 3.6 \times \frac{15}{25} = 2.16 \fallingdotseq 2.2 \text{ N}, \qquad T_1 = \frac{4}{3} \times 2.16 = 2.88 \fallingdotseq 2.9 \text{ N}$$

別解：ラミの定理を使う方法

3力のつりあいではラミの定理が使えます。3力 $T_1, T_2, W$ が点でつりあうとき、各力の対角をそれぞれ $\alpha, \beta, \gamma$ とすると：

$$\frac{T_1}{\sin\alpha} = \frac{T_2}{\sin\beta} = \frac{W}{\sin\gamma}$$