2人がロープで引く力のつりあい

設定：重さ $W$ [N] の物体を、鉛直から 45° と 30° の角度で2人が引っ張ってつりあわせます。

つりあいの式：

水平方向（右向き正）：$T_2$ の水平成分（右向き）と $T_1$ の水平成分（左向き）がつりあいます。

$$ T_2 \sin 30° - T_1 \sin 45° = 0 $$ $$ \frac{1}{2}T_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}T_1 \quad \Longrightarrow \quad T_2 = \sqrt{2}\,T_1 \quad \cdots (1) $$

鉛直方向（上向き正）：2本の張力の鉛直成分の和が重力とつりあいます。

$$ T_1 \cos 45° + T_2 \cos 30° = W $$ $$ \frac{\sqrt{2}}{2}T_1 + \frac{\sqrt{3}}{2}T_2 = W \quad \cdots (2) $$

(1)を(2)に代入：

$$ \frac{\sqrt{2}}{2}T_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2}\,T_1 = W $$ $$ \frac{\sqrt{2}}{2}T_1 \left(1 + \sqrt{3}\right) = W $$ $$ T_1 = \frac{2W}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}\,W}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} W = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\,W \fallingdotseq 0.52\,W $$

(1) より $T_2 = \sqrt{2}\,T_1$ を計算すると：

$$ T_2 = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\,W = \frac{\sqrt{12} - 2}{2}\,W = (\sqrt{3} - 1)\,W \fallingdotseq 0.73\,W $$

別解：ラミの定理

3力 $T_1$, $T_2$, $W$ のつりあいにラミの定理を適用：

$$\frac{T_1}{\sin(90° + 30°)} = \frac{T_2}{\sin(90° + 45°)} = \frac{W}{\sin(45° + 30°)}$$ $$\frac{T_1}{\cos 30°} = \frac{T_2}{\cos 45°} = \frac{W}{\sin 75°}$$

ここで $\sin 75° = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ を使って各張力を求めることもできます。