ばねの直列・並列連結

設定：自然の長さが等しく、ばね定数 $k_1$ [N/m]、$k_2$ [N/m] の2本のばね A, B を連結します。重力加速度 $g$ [m/s²]。

(1) 直列つなぎの合成ばね定数

直列つなぎでは各ばねに同じ力 $F$ がかかり、全体の伸び $x$ は各ばねの伸びの和です。

$$ x = x_1 + x_2 = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F\left(\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\right) $$

合成ばね定数 $K$ は $F = Kx$ より：

$$ \frac{1}{K} = \frac{x}{F} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \quad \Longrightarrow \quad K = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} $$

(2) 並列つなぎの合成ばね定数

並列つなぎでは各ばねが同じ伸び $x$ で、力が分担されます。全体の力 $F$ は各ばねの弾性力の和です。

$$ F = F_1 + F_2 = k_1 x + k_2 x = (k_1 + k_2)x $$

合成ばね定数は：

$$ K = k_1 + k_2 $$

(3) 直列つなぎに質量 $m$ をつるしたときの全体の伸び

つりあいの式 $Kx = mg$ より、(1) の合成ばね定数を使います。

$$ x = \frac{mg}{K} = mg \times \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} = \frac{mg(k_1 + k_2)}{k_1 k_2} $$

補足：ばねの連結と電気抵抗の対比

ばねの合成則は電気抵抗と逆です：

接続	ばね定数	電気抵抗
直列	$\frac{1}{K} = \frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$	$R = R_1 + R_2$
並列	$K = k_1 + k_2$	$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

ばね定数は「硬さ」、抵抗は「通りにくさ」に対応。直列だと伸びやすく（柔らかく）なり、抵抗は大きくなる。