糸a, bの張力 T, S

設定：天井のA, Bから糸a (30 cm), b (40 cm) でおもり（重さ $W = 6.0$ N）をつり下げる。AB間 = 50 cm。

幾何学的関係：$30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 = 50^2$ なので、3:4:5の直角三角形。糸bと天井のなす角を $\theta$ とすると：

力のつりあいの式：点Oにはたらく力は、張力 $T$（糸a方向）, $S$（糸b方向）, 重力 $W = 6.0$ N です。

糸aが鉛直となす角を $\alpha$、糸bが鉛直となす角を $\beta$ とします。3:4:5 の直角三角形の幾何から：

$$ \sin\alpha = \frac{3}{5},\; \cos\alpha = \frac{4}{5}, \quad \sin\beta = \frac{4}{5},\; \cos\beta = \frac{3}{5} $$

水平方向のつりあい（右向き正）：

$$ T\sin\alpha = S\sin\beta \quad \Longrightarrow \quad \frac{3}{5}T = \frac{4}{5}S \quad \Longrightarrow \quad T = \frac{4}{3}S \quad \cdots (1) $$

鉛直方向のつりあい（上向き正）：

$$ T\cos\alpha + S\cos\beta = W \quad \Longrightarrow \quad \frac{4}{5}T + \frac{3}{5}S = 6.0 \quad \cdots (2) $$

連立方程式を解く：(1) を (2) に代入します。

$$ \frac{4}{5} \times \frac{4}{3}S + \frac{3}{5}S = 6.0 $$ $$ \frac{16}{15}S + \frac{9}{15}S = 6.0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{25}{15}S = 6.0 $$ $$ S = 6.0 \times \frac{15}{25} = 3.6 \text{ N} $$

(1) に代入して $T$ を求めます：

$$ T = \frac{4}{3} \times 3.6 = 4.8 \text{ N} $$

別解：合力を利用する方法

$T$ と $S$ の合力が重力 $W = 6.0$ N と大きさが等しく逆向きになることを利用します。

3:4:5の直角三角形の性質から、糸aは鉛直線と角 $\alpha$（$\sin\alpha = 3/5$）をなし、糸bは鉛直線と角 $\beta$（$\sin\beta = 4/5$）をなします。

$T$ と $S$ の合力が鉛直上向き $W$ と等しいので：

$$T = W \cdot \frac{\cos\beta}{\cos(\alpha - \beta)} = 6.0 \times \frac{4}{5} = 4.8 \text{ N}$$ $$S = W \cdot \frac{\cos\alpha}{\cos(\alpha - \beta)} = 6.0 \times \frac{3}{5} = 3.6 \text{ N}$$