立式：右向きを正とする。小物体は板から左向きの動摩擦力 $\mu mg$ を受ける。板は反作用で右向きの力 $\mu mg$ を受ける。
小物体の運動方程式：
$$ma_1 = -\mu mg \quad \Rightarrow \quad a_1 = -\mu g$$板の運動方程式：
$$Ma_2 = \mu mg \quad \Rightarrow \quad a_2 = \frac{\mu m g}{M}$$数値例：$m = 2.0$ kg、$M = 8.0$ kg、$\mu = 0.30$、$g = 9.8$ m/s² のとき
$$a_1 = -0.30 \times 9.8 = -2.94 \;\text{[m/s}^2\text{]}$$ $$a_2 = \frac{0.30 \times 2.0 \times 9.8}{8.0} = \frac{5.88}{8.0} = 0.735 \;\text{[m/s}^2\text{]}$$動摩擦力は運動を妨げる向き。小物体は板に対して右に動くので、小物体にはたらく摩擦は左向き。板にはその反作用（右向き）がはたらく。
すべりが止まる条件：小物体と板の速度が等しくなります。
$$v_0 + a_1 t = a_2 t$$ $$v_0 - \mu g t = \frac{\mu m g}{M} t$$ $$v_0 = \mu g t\left(1 + \frac{m}{M}\right) = \frac{\mu g(M + m)}{M} t$$ $$\therefore \quad t = \frac{v_0 M}{\mu g(M + m)}$$相対距離：小物体の移動距離と板の移動距離の差を計算します。
$$l = \left(v_0 t + \frac{1}{2}a_1 t^2\right) - \frac{1}{2}a_2 t^2 = v_0 t + \frac{1}{2}(a_1 - a_2)t^2$$相対加速度 $a_1 - a_2 = -\mu g - \dfrac{\mu mg}{M} = -\dfrac{\mu g(M + m)}{M}$ を使うと
$$l = v_0 t - \frac{1}{2}\cdot\frac{\mu g(M+m)}{M}\cdot t^2$$$t$ を代入して整理すると
$$l = \frac{v_0^2 M}{2\mu g(M + m)}$$数値例：$v_0 = 4.0$ m/s、$m = 2.0$ kg、$M = 8.0$ kg、$\mu = 0.30$、$g = 9.8$ m/s² のとき
$$t = \frac{4.0 \times 8.0}{0.30 \times 9.8 \times (8.0 + 2.0)} = \frac{32.0}{29.4} \fallingdotseq 1.09 \;\text{[s]}$$ $$l = \frac{4.0^2 \times 8.0}{2 \times 0.30 \times 9.8 \times 10} = \frac{128}{58.8} \fallingdotseq 2.18 \;\text{[m]}$$板に対する小物体の相対加速度 $a_{\text{rel}}$ を使うと簡潔です：
$$a_{\text{rel}} = a_1 - a_2 = -\mu g - \frac{\mu mg}{M} = -\frac{\mu g(M + m)}{M}$$初速 $v_0$、最終速度 $0$（相対的に停止）で：
$$0 = v_0 + a_{\text{rel}} t \implies t = \frac{v_0 M}{\mu g(M + m)}$$ $$0 = v_0^2 + 2a_{\text{rel}} l \implies l = \frac{v_0^2 M}{2\mu g(M + m)}$$2物体が相対的に止まる条件は「速度が一致」。相対加速度を使うと、1物体の問題に帰着できて計算が簡潔になる。