設問(1)(2)　運動方程式と解

拘束条件：Bが距離 $h$ 下がると、動滑車の両側の糸がそれぞれ $h$ 短くなるので、Aは $2h$ 上がる。加速度も同様に：

$$ \alpha = 2\beta \quad \cdots (3) $$

運動方程式：Aの運動方程式（上向き正）とBの運動方程式（下向き正）を立てます：

$$ m\alpha = T - mg \quad \cdots (1) $$ $$ M\beta = Mg - 2T \quad \cdots (2) $$

解法：(1) $\times 2$ + (2) で $T$ を消去します：

$$ 2m\alpha + M\beta = 2T - 2mg + Mg - 2T = Mg - 2mg $$

(3) の $\alpha = 2\beta$ を代入：

$$ 2m \cdot 2\beta + M\beta = Mg - 2mg $$ $$ (4m + M)\beta = (M - 2m)g $$

検算として (1) から $T = m\alpha + mg = m(2\beta + g)$ を (2) に代入します：

$$ M\beta = Mg - 2m(2\beta + g) = Mg - 4m\beta - 2mg $$ $$ (M + 4m)\beta = (M - 2m)g $$

条件 $M > 2m$ のとき $\beta > 0$（Bが下降）。したがって：

$$ \beta = \frac{(M - 2m)g}{M + 4m}, \quad \alpha = 2\beta = \frac{2(M - 2m)g}{M + 4m} $$

張力：(1) より $T = m(\alpha + g) = m\!\left(\dfrac{2(M-2m)}{M+4m} + 1\right)\!g = \dfrac{3Mm}{M+4m}\,g$

$$ T = \frac{3Mm}{M + 4m}\,g $$

設問(3)　Bが床に衝突する直前の速さ

計算：初速 $v_0 = 0$ の等加速度運動で、加速度 $\beta$、距離 $h$ を落下するときの速さを求めます。

等加速度運動の公式 $v^2 = v_0^2 + 2\beta h$ に $v_0 = 0$ を代入：

$$ v^2 = 2\beta h = 2 \cdot \frac{M - 2m}{M + 4m}\,g \cdot h = \frac{2(M - 2m)gh}{M + 4m} $$ $$ v = \sqrt{\frac{2(M - 2m)gh}{M + 4m}} $$

補足：動滑車の拘束条件の導出

糸の長さ一定より、滑車を経由する糸の全長を $L$ とすると：

$$x_A + 2x_B = L \quad (\text{一定})$$

両辺を時間で2回微分すると：

$$\alpha + 2\beta = 0 \Rightarrow \alpha = -2\beta$$

Aが上昇、Bが下降なら符号の向きを合わせて $\alpha = 2\beta$ となります。

🧮 数値計算で確認

質量 \(m = 3.0\) kg の物体に \(F = 12\) N の力を加えると：

$$a = \frac{F}{m} = \frac{12}{3.0} = 4.0 \text{ m/s}^2$$ $$t = 2.0 \text{ s 後: } v = at = 4.0 \times 2.0 = 8.0 \text{ m/s}$$ $$x = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 4.0 \times 4.0 = 8.0 \text{ m}$$