設問(1)　浮力と重力の関係

浮力：おもり（一辺 $L$ の立方体）が排除した液体の重さに等しいので

$$F = \rho L^3 g$$

おもりのつりあい：上向きに浮力 $F$ と張力 $T$、下向きに重力 $mg$ がはたらくので

$$T + F = mg \quad \Rightarrow \quad T = mg - \rho L^3 g$$

数値例：$\rho = 1000$ kg/m³（水）、$L = 0.10$ m、$m = 5.0$ kg、$g = 9.8$ m/s² のとき

$$F = 1000 \times 0.10^3 \times 9.8 = 1000 \times 0.001 \times 9.8 = 9.8 \;\text{[N]}$$ $$mg = 5.0 \times 9.8 = 49.0 \;\text{[N]}$$ $$T = 49.0 - 9.8 = 39.2 \;\text{[N]}$$

設問(2)　手が糸を引っ張っている力

答え：設問(1) で求めた張力と同じです。

$$T = mg - \rho L^3 g = (m - \rho L^3)g$$

数値例（続き）：$T = (5.0 - 1000 \times 0.001) \times 9.8 = (5.0 - 1.0) \times 9.8 = 39.2$ N

設問(3)　台ばかりが示す質量

台ばかりが支える力：容器+液体系にはたらく力のつりあいを考えます。

容器+液体系にはたらく力（鉛直方向）：

• 下向き：容器+液体の重力 $(M_0 + \rho V)g$、おもりが液体を押す力（浮力の反作用）$\rho L^3 g$
• 上向き：台ばかりからの抗力 $R$

つりあいの式：

$$R = (M_0 + \rho V)g + \rho L^3 g = (M_0 + \rho V + \rho L^3)g$$

台ばかりの示す質量は $R/g$ なので

$$\frac{R}{g} = M_0 + \rho V + \rho L^3 \;\text{[kg]}$$

数値例：容器の質量 $M_0 = 0.50$ kg、液体の体積 $V = 3.0 \times 10^{-3}$ m³、$\rho = 1000$ kg/m³、$L = 0.10$ m のとき

$$\rho V = 1000 \times 3.0 \times 10^{-3} = 3.0 \;\text{[kg]}$$ $$\rho L^3 = 1000 \times 0.001 = 1.0 \;\text{[kg]}$$ $$\text{台ばかりの示す質量} = 0.50 + 3.0 + 1.0 = 4.5 \;\text{[kg]}$$

（おもりを沈める前は $0.50 + 3.0 = 3.5$ kg なので、$\rho L^3 = 1.0$ kg 分だけ増加）

補足：全体系で考える方法

系全体（容器+液体+おもり）に着目すると：

• 下向き：全体の重力 $= (M_0 + \rho V + m)g$
• 上向き：台ばかりの抗力 $R$ + 手が引く力 $T$

$$R + T = (M_0 + \rho V + m)g$$ $$R = (M_0 + \rho V + m)g - T = (M_0 + \rho V + m)g - (m - \rho L^3)g$$ $$R = (M_0 + \rho V + \rho L^3)g$$

結果は同じ。全体系で考えると見通しが良い。