基本問題68 運動方程式

鉛直方向の運動方程式（糸で引き上げ）

直感的理解
糸でぶら下げた物体を上に加速させるには、糸の張力 $T$ が重力 $mg$ より大きくなければならない。等速で上昇中なら $a = 0$ なので $T = mg$。加速中は $T > mg$。

上向きを正として、鉛直方向の運動方程式を立てます。物体にはたらく力は、上向きの張力 $T$ と下向きの重力 $mg$ です。

運動方程式の立式：

$$ma = T - mg \quad \Rightarrow \quad T = m(g + a)$$

(1) 加速度 $a = 1.4$ m/s$^2$ で上昇するとき：

$m = 5.0$ kg, $g = 9.8$ m/s², $a = 1.4$ m/s² を代入します：

$$T = 5.0 \times (9.8 + 1.4) = 5.0 \times 11.2 = 56 \text{ N}$$

(2) 一定の速さ $v = 3.0$ m/s で上昇するとき：

等速運動なので $a = 0$。運動方程式 $T = m(g + a)$ に代入すると：

$$T = 5.0 \times (9.8 + 0) = 5.0 \times 9.8 = 49 \text{ N}$$
答え：
(1) $T = 56$ N
(2) $T = 49$ N
補足：糸の張力と加速度の関係

$T = m(g + a)$ より：

  • 上向きに加速（$a > 0$）→ $T > mg$（張力が重力より大きい）
  • 等速（$a = 0$）→ $T = mg$
  • 下向きに加速（$a < 0$）→ $T < mg$（張力が重力より小さい）
Point

等速運動 ⇒ 加速度ゼロ：「一定の速さで」と書かれていれば $a = 0$。運動方程式で $ma = 0$ となるため、力のつり合いが成立する。