直感的理解

糸でつながった2物体は同じ加速度で動く。全体の加速度を求めてから、糸の張力は片方だけの運動方程式で求める。張力は加える力を質量比で按分したものになる。

なめらかな水平面上に質量 $m_1$, $M$ の2物体A, Bが糸でつながれている。Aに力 $F$ [N] を加えて引く。糸の質量は無視。

(1) 加速度 $a$：

全体を一体として運動方程式を立てる。外力は $F$ のみ：

$$(m_1 + M)\,a = F$$

$a$ について解くと：

$$a = \frac{F}{m_1 + M}$$

(2) 糸の張力 $T$：

Bだけの運動方程式。Bにはたらく水平方向の力は糸の張力 $T$ のみ：

$$Ma = T$$

(1) の $a$ を代入：

$$T = Ma = M \cdot \frac{F}{m_1 + M} = \frac{MF}{m_1 + M}$$

答え：
(1) $a = \dfrac{F}{m_1 + M}$ [m/s$^2$]
(2) $T = \dfrac{MF}{m_1 + M}$ [N]

別解：Aの運動方程式から確認

Aの運動方程式：$m_1 a = F - T$ より

$$T = F - m_1 a = F - \frac{m_1 F}{m_1 + M} = \frac{MF}{m_1 + M}$$

一致する。

Point

糸の張力は内力：全体の運動方程式には張力は現れない（内力は相殺）。張力を求めるには個別の物体の運動方程式を立てる必要がある。

$m_1 = 1.0$ kg、$M = 3.0$ kg、加える力 $F = 8.0$ N として、加速度と張力を実際に計算する。

(1) 加速度 $a$：系全体に運動方程式を立てる（合計質量 $m_1 + M$、外力 $F$）。

$$ (m_1 + M) a = F \;\Longrightarrow\; a = \frac{F}{m_1 + M} = \frac{8.0}{1.0 + 3.0} = 2.0 \text{ m/s}^2 $$

(2) 糸の張力 $T$：物体 $m_1$ のみの運動方程式から（$m_1$ には張力 $T$ が後ろから加わる）。

$$ m_1 a = F - T \;\Longrightarrow\; T = F - m_1 a = 8.0 - 1.0 \times 2.0 = 6.0 \text{ N} $$

検算：物体 $M$ の運動方程式 $Ma = T$ も成立するか確認。

$$ Ma = 3.0 \times 2.0 = 6.0 \text{ N} = T \;\checkmark $$

公式 $T = MF/(m_1+M)$ に代入しても同じ：

$$ T = \frac{MF}{m_1 + M} = \frac{3.0 \times 8.0}{4.0} = 6.0 \text{ N} $$

基本問題75 ２物体の運動