あらい斜面上を滑り下りる物体の運動

傾き $\theta$ のあらい斜面を物体が滑り下りる。動摩擦係数 $\mu'$。

斜面に垂直な方向のつり合い：

$$ N = mg\cos\theta $$

斜面方向の運動方程式（下向き正）：重力の斜面成分（下向き）から動摩擦力（上向き）を引いたものが合力です：

$$ ma = mg\sin\theta - \mu' N = mg\sin\theta - \mu'mg\cos\theta $$

$m$ で割ると：

$$ a = g(\sin\theta - \mu'\cos\theta) $$

数値計算：$m = 2.0$ kg、$\theta = 30°$、$\mu' = 0.20$、$g = 9.8$ m/s$^2$ を代入します。

まず各力の成分を求めます：

$$mg\sin\theta = 2.0 \times 9.8 \times \sin 30° = 2.0 \times 9.8 \times 0.50 = 9.8 \text{ N}$$ $$N = mg\cos\theta = 2.0 \times 9.8 \times \cos 30° = 2.0 \times 9.8 \times 0.866 = 17.0 \text{ N}$$ $$f = \mu' N = 0.20 \times 17.0 = 3.4 \text{ N}$$

合力と加速度：

$$ma = 9.8 - 3.4 = 6.4 \text{ N}$$ $$a = \frac{6.4}{2.0} = 3.2 \text{ m/s}^2$$

公式で直接計算すると：

$$a = 9.8 \times (0.50 - 0.20 \times 0.866) = 9.8 \times (0.50 - 0.173) = 9.8 \times 0.327 = 3.2 \text{ m/s}^2$$

別解：エネルギー保存則による検証

斜面の長さ $L$ を滑り降りるとき、位置エネルギーの減少 $mgh = mgL\sin\theta$ が運動エネルギーと摩擦による熱に変わります。

$$mgL\sin\theta = \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg\cos\theta \cdot L$$

$v^2 = 2aL$ を代入すると $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$ を確認できます。