浮力と物体の密度

密度 $\rho_0$ [kg/m$^3$]、体積 $V$ [m$^3$] の物体を水（密度 $\rho_w$ [kg/m$^3$]）に入れる。

浮力の公式（アルキメデスの原理）：浮力は押しのけた液体の重さに等しい。

$$ F_{\text{浮}} = \rho_w V_{\text{sub}} g $$

ここで $V_{\text{sub}}$ は水中に沈んだ部分の体積。

浮いている場合（$\rho_0 < \rho_w$）のつり合い：重力と浮力のつりあいから沈んだ割合を導きます：

$$ mg = \rho_w V_{\text{sub}} g \quad \Longrightarrow \quad \rho_0 V = \rho_w V_{\text{sub}} $$ $$ \frac{V_{\text{sub}}}{V} = \frac{\rho_0}{\rho_w} $$

数値計算：水の密度 $\rho_w = 1.0 \times 10^3$ kg/m$^3$、水中に沈んでいる体積 $V_{\text{sub}} = 6.0 \times 10^{-4}$ m$^3$、$g = 9.8$ m/s$^2$。

浮力のつりあい：物体が浮いているとき、重力 $= $ 浮力です：

$$mg = F_{\text{浮}} = \rho_w V_{\text{sub}} g$$

$g$ で割ると質量が求まります：

$$m = \rho_w V_{\text{sub}} = 1.0 \times 10^3 \times 6.0 \times 10^{-4} = 0.60 \text{ kg}$$

浮力の大きさは：

$$F_{\text{浮}} = mg = 0.60 \times 9.8 = 5.88 \text{ N}$$

補足：アルキメデスの原理の導出

液体中の物体の各面にはたらく圧力差から浮力が導けます。深さ $h$ での圧力は $p = p_0 + \rho g h$ なので、上下面の圧力差は：

$$F_{\text{浮}} = (p_{\text{下}} - p_{\text{上}}) \times A = \rho g \Delta h \times A = \rho g V$$

これがアルキメデスの原理「浮力 = 押しのけた液体の重さ」です。