直感的理解

落下する物体が受ける空気抵抗は速度とともに増加する。やがて抵抗力が重力と等しくなり、加速度がゼロ → 等速運動（終端速度）に達する。抵抗が大きい（$k$ が大きい）ほど終端速度は小さい。

質量 $m$ [kg] の小球を静かに落とす。空気抵抗は速さ $v$ に比例し、$f = kv$（$k$ は比例定数）。

運動方程式（下向き正）：

重力 $mg$（下向き）と空気抵抗 $kv$（上向き）が働くので：

$$ma = mg - kv$$

(1) 終端速度（等速になったとき $a = 0$）：

終端速度 $v_1$ では加速度 $a = 0$ なので、運動方程式で $a = 0$ とおくと：

$$0 = mg - kv_1 \quad \Rightarrow \quad kv_1 = mg$$ $$\therefore \quad v_1 = \frac{mg}{k}$$

(2) 速さが $v_1/2$ のときの加速度：

$v = v_1/2$ を運動方程式 $ma = mg - kv$ に代入します。$v_1 = mg/k$ より $k = mg/v_1$ を使うと：

$$ma = mg - k \cdot \frac{v_1}{2} = mg - \frac{mg}{v_1} \cdot \frac{v_1}{2} = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$$ $$\therefore \quad a = \frac{g}{2}$$

(3) 速度と時間の関係（v-tグラフの概形）：

$t = 0$ で $v = 0$（静かに落とした）、加速度は $a = g - \dfrac{k}{m}v$ なので、速度が増すにつれて加速度は減少します。したがって v-tグラフは下に凸の曲線で、終端速度 $v_1$ に漸近します。

$$v(t) = v_1\!\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right) = \frac{mg}{k}\!\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right)$$

$t \to \infty$ で $v \to v_1$ に収束し、等速運動になります。

答え：
(1) 終端速度 $v_1 = \dfrac{mg}{k}$
(2) $v = v_1/2$ のとき $a = \dfrac{g}{2}$
(3) $v$-$t$ グラフは下に凸の曲線で $v_1$ に漸近する

補足：微分方程式の解

$m\dfrac{dv}{dt} = mg - kv$ を解くと：

$$v(t) = \frac{mg}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right) = v_1\left(1 - e^{-\frac{g}{v_1}t}\right)$$

$t \to \infty$ で $v \to v_1$（終端速度）に収束する。

Point

終端速度の求め方：$a = 0$（加速度ゼロ）とおいて $mg = kv$ を解く。速度に比例する抵抗なら $v_1 = mg/k$、速度の2乗に比例なら $v_1 = \sqrt{mg/k}$。

物体の質量 $m = 0.10$ kg、抵抗係数 $k = 0.49$ kg/s、重力加速度 $g = 9.8$ m/s² として、各値を実際に計算する。

(1) 終端速度 $v_1$：抵抗力と重力がつりあい、加速度がゼロになるとき。

$$ mg - k v_1 = 0 \;\Longrightarrow\; v_1 = \frac{mg}{k} = \frac{0.10 \times 9.8}{0.49} = 2.0 \text{ m/s} $$

(2) 速さが $v = v_1/2 = 1.0$ m/s のときの加速度 $a$：

$$ ma = mg - kv \;\Longrightarrow\; a = g - \frac{kv}{m} = 9.8 - \frac{0.49 \times 1.0}{0.10} = 9.8 - 4.9 = 4.9 \text{ m/s}^2 $$

これは重力加速度のちょうど半分 $g/2$ になる。

(3) v-tグラフの形：初め $v = 0$ では $a = g = 9.8$ m/s² で最大、$v$ が増えると $a$ が減り、$v \to v_1 = 2.0$ m/s に漸近する下に凸の曲線。

$$ a(v) = g\left(1 - \frac{v}{v_1}\right) = 9.8\left(1 - \frac{v}{2.0}\right) \text{ [m/s}^2\text{]} $$

基本問題87 空気の抵抗を受ける運動