基本例題16 ２物体の運動

設問(1)　Aの加速度

直感的理解
アトウッドの機械では、重い方（A）が下がり軽い方（B）が上がります。加速度は質量差 $(M - m)$ に比例し、全質量 $(M + m)$ に反比例します。$M = m$ なら加速度は0（つりあい）になります。

設定：Aの質量 $M$、Bの質量 $m$（$M > m$）。Aが下がる向きを正とする。加速度を $a$、張力を $T$ とする。

立式：各物体の運動方程式（Aが下がる向きを正）：

A（下降）：

$$Ma = Mg - T \quad \cdots (1)$$

B（上昇）：

$$ma = T - mg \quad \cdots (2)$$

計算：(1) + (2) より $T$ を消去：

$$(M + m)\,a = Mg - mg = (M - m)\,g$$ $$a = \frac{M - m}{M + m}\,g$$
答え：
$$a = \frac{M - m}{M + m}\,g$$
Point

アトウッドの機械の加速度：$a = \dfrac{M - m}{M + m}g$。2式を足して張力を消去するのが定石。

設問(2)　糸1の張力 $T$

直感的理解
張力 $T$ は $mg$ より大きく $Mg$ より小さい値になります。もし $T = Mg$ なら加速しない（つりあい）。Aが加速して下がるには $Mg > T$ でなければなりません。

計算：(2)式 $T = m(a + g)$ に $a = \dfrac{M-m}{M+m}g$ を代入：

$$T = m\!\left(\frac{M - m}{M + m}\,g + g\right) = m \cdot \frac{(M - m) + (M + m)}{M + m}\,g = m \cdot \frac{2M}{M + m}\,g$$ $$T = \frac{2Mm}{M + m}\,g$$
答え：
$$T = \frac{2Mm}{M + m}\,g$$
Point

張力は $mg < T < Mg$ の範囲にある。$T = \dfrac{2Mm}{M+m}g$ は調和平均の形。

設問(3)　滑車をつるす糸2の張力 $S$

直感的理解
滑車の質量は無視するので、滑車にはたらく力はつりあっています。糸2の張力 $S$ は、両側から引く張力 $T$ の合計 $2T$ です。

立式：滑車は質量無視なので力のつりあい：

答え：
$$S = 2T = \frac{4Mm}{M + m}\,g$$
Point

質量を無視できる滑車では力がつりあう。$S = 2T$ であり、$S \neq (M + m)g$ であることに注意。

設問(4)　Aが地面に達するまでの時間 $t$ と速さ $v$

直感的理解
初速0の等加速度運動なので、$h = \frac{1}{2}at^2$ から時間、$v = at$ から速さが求まります。

計算：$v_0 = 0$、距離 $h$、加速度 $a = \dfrac{M-m}{M+m}g$ より：

答え：
$$t = \sqrt{\frac{2(M+m)h}{(M-m)g}}, \quad v = \sqrt{\frac{2(M-m)gh}{M+m}}$$
Point

等加速度運動の3公式を使い分ける。$v_0 = 0$ なら $h = \frac{1}{2}at^2$ と $v^2 = 2ah$ が簡潔。

💡 補足：次元解析による検算

計算結果の単位が正しいか確認する習慣をつけましょう。速度なら [m/s]、加速度なら [m/s²] になるはずです。数式の両辺で単位が一致するか（次元解析）を確認すると、立式ミスを防げます。