糸の張力 $T$

設定：鉄球の質量 $m\;\text{[kg]}$、密度 $\rho\;\text{[kg/m}^3\text{]}$。液体の密度 $\rho_0\;\text{[kg/m}^3\text{]}$。

Step 1：鉄球の体積を質量と密度から求めます：

$$V = \frac{m}{\rho}$$

Step 2：浮力の計算。浮力はアルキメデスの原理より、排除した液体の重さに等しいので：

$$F = \rho_0 V g = \rho_0 \cdot \frac{m}{\rho} \cdot g = \frac{\rho_0}{\rho}\,mg$$

Step 3：力のつりあい。鉄球は静止しているので、上向きの力の和 = 下向きの力です：

$$T + F = mg \quad \Rightarrow \quad T = mg - F = mg - \frac{\rho_0}{\rho}\,mg$$

整理すると：

$$T = \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)mg\;\text{[N]}$$

補足：浮力の別表現

浮力は次の3つの同値な表現があります：

• $F = \rho_0 V g$（排除した液体の体積 $\times$ 液体の密度 $\times$ 重力加速度）
• $F = \frac{\rho_0}{\rho}mg$（物体の重力に密度比をかけたもの）
• $F =$ 物体の底面にかかる圧力差 $\times$ 底面積（圧力の観点）

どの表現を使うかは問題の条件次第。体積が与えられている場合は1番目、質量と密度が与えられている場合は2番目が便利。