設問(1) 摩擦力 $F$ の大きさ

力の整理：

• はしごの重力 $mg$（中点、Bから $l/2$）
• 人の重力 $5mg$（Bから $x$ の位置）
• 壁からの垂直抗力 $N_A$（A端、水平方向）
• 床からの垂直抗力 $N_B$（B端、鉛直上向き）
• 床の摩擦力 $F$（B端、水平、壁に向かう向き）

B点まわりの力のモーメントのつりあい：

反時計回りを正として（$\tan\theta = \frac{4}{3}$ より $\sin\theta = \frac{4}{5}$, $\cos\theta = \frac{3}{5}$）：

$$N_A \cdot l\sin\theta - mg \cdot \frac{l}{2}\cos\theta - 5mg \cdot x\cos\theta = 0$$ $$N_A \cdot l \cdot \frac{4}{5} = mg\cos\theta\left(\frac{l}{2} + 5x\right) = mg \cdot \frac{3}{5}\left(\frac{l}{2} + 5x\right)$$ $$N_A = \frac{3mg(l + 10x)}{8l}$$

水平方向の力のつりあい： $F = N_A$ より

$$F = \frac{3mg(l + 10x)}{8l}$$

数値例：$m = 10$ kg、$l = 5.0$ m、$x = 2.0$ m、$g = 9.8$ m/s² のとき

$$F = \frac{3 \times 10 \times 9.8 \times (5.0 + 10 \times 2.0)}{8 \times 5.0} = \frac{294 \times 25}{40} = \frac{7350}{40} = 184 \;\text{[N]}$$

設問(2) はしごがすべりだす位置

鉛直方向のつりあい：

$$N_B = mg + 5mg = 6mg$$

すべりだす条件： $F = \mu N_B$

$$\frac{3mg(l + 10x)}{8l} = 0.5 \times 6mg$$ $$\frac{3(l + 10x)}{8l} = 3$$ $$l + 10x = 8l$$ $$10x = 7l$$ $$\boxed{x = \frac{7}{10}l = 0.7l}$$

人がB端から $0.7l$（はしご全長の70%）を登ったところではしごがすべりだします。

数値例：$m = 10$ kg、$l = 5.0$ m のとき

$$x = 0.7 \times 5.0 = 3.5 \;\text{[m]}$$

このとき最大静止摩擦力は

$$\mu N_B = 0.5 \times 6 \times 10 \times 9.8 = 294 \;\text{[N]}$$

$x = 3.5$ m での摩擦力を検算すると

$$F = \frac{3 \times 10 \times 9.8 \times (5.0 + 10 \times 3.5)}{8 \times 5.0} = \frac{294 \times 40}{40} = 294 \;\text{[N]} \quad (\text{一致} \checkmark)$$

補足：人がA端まで登れる条件

人がA端（$x = l$）まで登れるためには：

$$F(l) = \frac{3mg(l + 10l)}{8l} = \frac{33mg}{8} \leq \mu \times 6mg$$ $$\mu \geq \frac{33}{48} = \frac{11}{16} \fallingdotseq 0.69$$

この問題では $\mu = 0.5$ なので、A端まで登ることはできません。