設問(1) 垂直抗力の作用点

斜面座標での力の整理：

• 斜面に垂直な方向のつりあい：$N = mg\cos\theta$
• 斜面に沿った方向のつりあい：$F = mg\sin\theta$（摩擦力、斜面上向き）

重心Gまわりの力のモーメントのつりあい：

垂直抗力 $N$ の作用点をOから距離 $d$ の位置、重心Gは底面の中心（Oから $b/2$）にあります。Gまわりのモーメントを考えると、$N$ のモーメント腕は $(d - b/2)$、摩擦力 $F$ のモーメント腕は $a/2$（重心の高さ）です。

つりあいの式：

$$N\left(d - \frac{b}{2}\right) = F \cdot \frac{a}{2}$$

$N = mg\cos\theta$、$F = mg\sin\theta$ を代入：

$$mg\cos\theta\left(d - \frac{b}{2}\right) = mg\sin\theta \cdot \frac{a}{2}$$ $$d - \frac{b}{2} = \frac{a\tan\theta}{2}$$ $$d = \frac{b}{2} + \frac{a\tan\theta}{2} = \frac{b + a\tan\theta}{2}$$

数値例：$a = 0.40$ m、$b = 0.20$ m、$\theta = 30°$ のとき：

$$d = \frac{0.20 + 0.40 \times \tan 30°}{2} = \frac{0.20 + 0.40 \times 0.577}{2} = \frac{0.20 + 0.231}{2} = 0.216 \text{ m}$$

設問(2) すべりだすより先に倒れる条件

傾き始める条件： $d = b$（垂直抗力の作用点が上端に達する）

$$(1)の結果に d = b を代入：\quad \frac{b + a\tan\theta}{2} = b$$ $$b + a\tan\theta = 2b \quad \Rightarrow \quad a\tan\theta = b$$ $$\tan\theta = \frac{b}{a}$$

$\theta$ がこの値を超えると物体は傾きます。一方、すべりだす条件は摩擦力が最大静止摩擦力に達するときで $mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta$、すなわち $\tan\theta = \mu$。

すべりだすより先に倒れるためには、傾く臨界角がすべる臨界角より小さい必要があります：

$$\frac{b}{a} < \mu$$

このとき $\tan\theta$ が $b/a$ を超えた瞬間（まだ $\mu$ に達する前に）倒れ始めます。

数値例：$a = 0.40$ m、$b = 0.20$ m のとき、傾く臨界条件は $\tan\theta = 0.20/0.40 = 0.50$（$\theta = 26.6°$）。$\mu = 0.60$ なら $0.50 < 0.60$ なので、すべりより先に傾きます。

設問(3) 倒れるより先にすべりだす条件

倒れるより先にすべりだす条件は、すべる臨界角（$\tan\theta = \mu$）が傾く臨界角（$\tan\theta = b/a$）より小さいこと：

$$\mu < \frac{b}{a}$$

数値例：$a = 0.40$ m、$b = 0.20$ m のとき $b/a = 0.50$。$\mu = 0.30$ なら $0.30 < 0.50$ を満たすので、$\theta$ を大きくしていくと $\theta = \arctan(0.30) = 16.7°$ で先にすべりだします。$\mu = 0.60$ なら $0.60 > 0.50$ なのでこの条件は満たされず、先に傾きます。

補足：すべりと傾きの統一的理解

斜面上の直方体には2つの臨界角があります：

現象	臨界条件	決定要因
すべり	$\tan\theta = \mu$	摩擦係数のみ
傾き	$\tan\theta = b/a$	形状のみ

$\mu > b/a$（摩擦が大きい）→ 先に傾く（縦長の物体ほど倒れやすい）

$\mu < b/a$（摩擦が小さい）→ 先にすべる（横長の物体ほどすべりやすい）

$\mu = b/a$ のとき、すべりと傾きが同時に起きます。