基本問題101 重心（正方形からの円形くり抜き）

正方形板から円板をくり抜いた残りの重心

直感的理解
「くり抜き」の問題は、「全体 ー 穴の部分」と考えます。全体（正方形）の重心と穴（円板）の重心がわかれば、穴の部分を「負の質量」として扱うことで、残りの部分の重心が求まります。穴をあけた側と反対方向に重心がずれるのが直感的にも自然です。

設定：1辺 $a = 0.84$ m の正方形 ABCD の一様な板。中心 O から距離 $d = $ OF の点 F を中心に半径 $r = 0.21$ m の円をくり抜く。$d = $ OF $ = 0.21$ m。

「くり抜き」の考え方：

面密度を $\sigma$ とすると、

残りの板の重心 $x_G$（O を原点、O→F を正方向）は：

「全体 = 残り + 穴」の重心の関係：$M \cdot 0 = (M - m) x_G + m \cdot d$

$$(M - m) x_G = -m \cdot d$$ $$x_G = \frac{-m \cdot d}{M - m} = \frac{-\sigma \pi r^2 \cdot d}{\sigma a^2 - \sigma \pi r^2}$$

数値代入：$a = 0.84$ m、$r = 0.21$ m、$d = 0.21$ m

$$\pi r^2 = \pi \times 0.21^2 = 0.04410\pi \fallingdotseq 0.1385 \text{ m}^2$$ $$a^2 = 0.84^2 = 0.7056 \text{ m}^2$$ $$x_G = \frac{-0.1385 \times 0.21}{0.7056 - 0.1385} = \frac{-0.02909}{0.5671} \fallingdotseq -0.051 \text{ m}$$

（負号は F と反対方向を意味する）

答え：
$$\text{重心は O から F と反対方向に約 } 0.051 \text{ m}（\fallingdotseq 5.1 \text{ cm}）$$
別解：比で処理する方法

$r = a/4$ のとき、面積比は

$$\frac{m}{M} = \frac{\pi r^2}{a^2} = \frac{\pi (a/4)^2}{a^2} = \frac{\pi}{16}$$

よって

$$x_G = -\frac{(\pi/16) \cdot d}{1 - \pi/16} = -\frac{\pi d}{16 - \pi}$$ $$= -\frac{\pi \times 0.21}{16 - \pi} = -\frac{0.6597}{12.858} \fallingdotseq -0.0513 \text{ m}$$
Point

くり抜き問題の重心：「全体の質量 $\times$ 全体の重心位置 = 残りの質量 $\times$ 残りの重心 + 穴の質量 $\times$ 穴の重心」という関係を使う。穴の部分を「負の質量」と考える方法も有効。