太さが一様でない棒の重心を求める

設定：太さが一様でない棒 AB（長さ $L = 2.8$ m）。A端が太く（重い）、B端が細い（軽い）。棒の質量は $0.50$ kg。A端から $d$ の位置に台を置いて水平につりあう点を探す。

Step 1：つりあいの条件式

台の位置（A端からの距離 $d$）に支点を置いたとき、棒が水平につりあうには支点まわりのモーメントの和が 0 でなければなりません。重心が A 端から $x_G$ の位置にあるとすると：

$$\text{棒の重力} \times (x_G - d) = 0$$

つまり、$d = x_G$ のとき（支点が重心の真下にあるとき）につりあいます。

Step 2：モーメントによる検証

仮に A 端に質量 $m_A = 0.30$ kg、B 端に質量 $m_B = 0.20$ kg が集中しているモデルで考えると、A 端まわりのモーメントのつりあいから：

$$x_G = \frac{m_A \times 0 + m_B \times L}{m_A + m_B}$$

数値を代入すると：

$$x_G = \frac{0.30 \times 0 + 0.20 \times 2.8}{0.30 + 0.20} = \frac{0 + 0.56}{0.50} = \frac{0.56}{0.50} = 1.12 \text{ m}$$

実際の棒は連続的に太さが変わるため、実験で台を動かしてつりあう位置を測定します。

Step 3：実験結果

台をA端から $1.2$ m の位置に置いたとき水平につりあったので：

$$d = x_G = 1.2 \text{ m}$$

この位置は棒の中心（$L/2 = 1.4$ m）より A 端寄りであり、太い（重い）側に重心が偏っていることが確認できます。

補足：重心の測定方法

実験的に重心を求める方法：

1. 台に乗せる方法：棒を台（支点）に乗せ、水平につりあう位置を見つける
2. 吊り下げる方法：棒を1点で吊り下げ、静止したときの鉛直線上に重心がある。2点で吊り下げた鉛直線の交点が重心

太さが一様でない場合、重心は必ずしも幾何学的中心（$L/2$）にはなく、密度が大きい（重い）部分の方に寄ります。