斜面上の直方体が傾かない条件

設定：質量 $m$、幅 $w$、高さ $h$ の一様な直方体を傾き角 $\theta$ の斜面上に置く。重力加速度を $g$ とする。

傾く条件の導出：

直方体が倒れ始める瞬間は、重力の作用線が底面の下端の角 P を通るとき。

重心 G は直方体の中心にあるので、P を原点として斜面に沿う方向と垂直方向で考えると：

• G から P までの水平（斜面に沿う）距離：$\dfrac{w}{2}$
• G から斜面までの高さ：$\dfrac{h}{2}$

P まわりのモーメント：

重力 $mg$ を斜面に平行な成分 $mg\sin\theta$ と垂直な成分 $mg\cos\theta$ に分解する。

• 倒すモーメント（時計回り）：$mg\sin\theta \times \dfrac{h}{2}$
• 戻すモーメント（反時計回り）：$mg\cos\theta \times \dfrac{w}{2}$

傾かない条件：戻すモーメント $\geq$ 倒すモーメント

$$mg\cos\theta \times \frac{w}{2} \geq mg\sin\theta \times \frac{h}{2}$$

両辺を $\dfrac{mg}{2}$ で割ると：

$$w\cos\theta \geq h\sin\theta$$ $$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \leq \frac{w}{h}$$

具体的な数値例：$w = 0.20$ m、$h = 0.60$ m の直方体の場合

$$\tan\theta \leq \frac{0.20}{0.60} = \frac{1}{3} \fallingdotseq 0.333$$ $$\theta \leq \arctan\!\left(\frac{1}{3}\right) \fallingdotseq 18.4°$$

つまり、斜面の角度が約 $18.4°$ を超えると倒れ始めます。

静止摩擦係数 $\mu = 0.50$ のとき、すべる条件は $\tan\theta > \mu = 0.50$（$\theta > 26.6°$）なので、この物体はすべるより先に倒れます（$0.333 < 0.50$）。

別解：重力の作用線による幾何学的方法

重心 G を通る鉛直線が底面内を通れば物体は安定。鉛直線が底面の下端 P を通る臨界角度を求める。

重心は底面の中心から高さ $h/2$ にある。この重心を通る鉛直線が底面の端 P に達する角度を $\theta_c$ とすると：

$$\tan\theta_c = \frac{w/2}{h/2} = \frac{w}{h}$$

$\theta < \theta_c$ なら鉛直線は底面内 → 安定

$\theta > \theta_c$ なら鉛直線は底面外 → 転倒

よって傾かない条件は $\tan\theta \leq w/h$。

補足：すべりの条件との比較

斜面上の物体には「倒れる」と「すべる」の2つの不安定化がありえます。

• 倒れる条件：$\tan\theta > \dfrac{w}{h}$
• すべる条件：$\tan\theta > \mu$（$\mu$：静止摩擦係数）

どちらが先に起こるかは $w/h$ と $\mu$ の大小関係で決まります。

• $\mu < w/h$：すべりが先に起こる（背の低い物体）
• $\mu > w/h$：倒れが先に起こる（背の高い物体）