基本問題95 棒のつりあい

(a) 力 $F$ が水平の場合

直感的理解
棒は A で糸につるされているので、A まわりに回転しようとします。重力は棒を時計回りに回し、水平力 $F$ は反時計回りに回します。この回転の釣り合いから $F$ が決まります。

棒 AB(長さ $l = 0.60$ m、重さ $W = 60$ N)は A 端を糸で天井に固定し、B 端に力 $F$ を鉛直上向きに加えて棒を水平に保つ。

A まわりのモーメント(反時計回り正):

重力は重心(A から $l/2 = 0.30$ m)で鉛直下向き、$F$ は B 端(A から $l = 0.60$ m)で鉛直上向き:

$$F \times l - W \times \frac{l}{2} = 0$$ $$F \times 0.60 = 60 \times 0.30 = 18$$ $$F = \frac{18}{0.60} = 30 \text{ N}$$

鉛直方向の力のつりあい:

$$T + F = W$$ $$T = 60 - 30 = 30 \text{ N}$$
答え (a):
$$T = 30 \text{ N},\quad F = 30 \text{ N}$$

(b) 力 $F$ が鉛直上向きの場合

直感的理解
鉛直上向きの力 $F$ が B 端にかかると、A と B の両端で棒を支える形になります。重心が中央にあるので、A まわりのモーメントのつりあいから $F$ を求められます。

A まわりのモーメント(反時計回り正):

$F$ は B 端(A から $l = 0.60$ m)で鉛直上向き。重力は重心(A から $l/2 = 0.30$ m)で鉛直下向き。(a) と同じ配置なのでモーメントの式も同じ:

$$F \times 0.60 = 60 \times 0.30$$ $$F = 30 \text{ N}$$

鉛直方向の力のつりあい:

$$T + F = W \quad \Rightarrow \quad T = 60 - 30 = 30 \text{ N}$$
答え (b):
$$T = 30 \text{ N},\quad F = 30 \text{ N}$$

(c) 力 $F$ が棒と 45° をなす場合

直感的理解
力が斜めに作用する場合、棒を回す能力は力の棒に垂直な成分($F\sin 45°$)だけです。棒に沿った成分は棒を押し引きするだけで回転には寄与しません。

A まわりのモーメント:$F$ の棒に垂直な成分 $F\sin 45°$ だけがモーメントを生む:

$$F\sin 45° \times l = W \times \frac{l}{2}$$ $$F \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 0.60 = 60 \times 0.30$$ $$F \times 0.4243 = 18$$ $$F = \frac{18}{0.4243} = 30\sqrt{2} \fallingdotseq 42.4 \text{ N}$$

鉛直方向の力のつりあい:$F$ の鉛直成分は $F\sin 45°$:

$$T + F\sin 45° = W$$ $$T = 60 - 30\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 60 - 30 = 30 \text{ N}$$
答え (c):
$$T = 30 \text{ N},\quad F = 30\sqrt{2} \fallingdotseq 42 \text{ N}$$
補足:力の見落とし防止チェックリスト

力を列挙する際は、①重力 ②垂直抗力 ③張力 ④摩擦力 ⑤弾性力 の順に確認し、接触力と遠隔力を分けて図示すると見落としを防げます。

Point

力が斜めに作用するとき、モーメントの計算には力の作用線から回転軸への垂直距離(うでの長さ)を使う。$M = F \cdot d\sin\theta$ が基本式。