設問(1) 垂直抗力の作用点

力の整理：

• 重力 $mg$（重心Gから鉛直下向き）
• 糸の張力 $T$（上端から水平方向）
• 垂直抗力 $N$（作用点Pから鉛直上向き）
• 摩擦力 $F$（床面で $T$ と反対向き）

力のつりあい：

• 鉛直方向：$N = mg$
• 水平方向：$F = T$

重心Gまわりの力のモーメントのつりあい：

重心Gは底面の中心（高さ $h/2$、底面中央）にあります。Gまわりで時計回りを正としてモーメントを立てます。

• $T$（上端に水平方向）：モーメント腕 = $h/2$（Gから上端までの距離）→ $T \cdot \dfrac{h}{2}$（時計回り）
• $N$（作用点P、鉛直上向き）：モーメント腕 = $x$（Gから作用点Pまでの水平距離）→ $N \cdot x$（反時計回り）

つりあいの条件：

$$N \cdot x = T \cdot \frac{h}{2}$$

$N = mg$ を代入：

$$mg \cdot x = T \cdot \frac{h}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{Th}{2mg}$$

数値例：$m = 2.0$ kg、$h = 0.40$ m、$l = 0.20$ m、$T = 4.9$ N、$g = 9.8$ m/s² のとき：

$$x = \frac{4.9 \times 0.40}{2 \times 2.0 \times 9.8} = \frac{1.96}{39.2} = 0.050 \text{ m} = 5.0 \text{ cm}$$

設問(2) 傾き始めるときの $T_0$

傾き始めるとき $x = \dfrac{l}{2}$（Pが物体の端に達する）なので、(1)の結果に代入：

$$\frac{T_0 h}{2mg} = \frac{l}{2}$$

$T_0$ について解くと：

$$T_0 = \frac{mgl}{2h}$$

数値例：$m = 2.0$ kg、$h = 0.40$ m、$l = 0.20$ m、$g = 9.8$ m/s² のとき：

$$T_0 = \frac{2.0 \times 9.8 \times 0.20}{2 \times 0.40} = \frac{3.92}{0.80} = 4.9 \text{ N}$$

設問(3) すべるより先に傾くための $\mu$ の条件

すべりだす条件：$T = F_{\max} = \mu N = \mu mg$

すべるより先に傾くためには、傾くときの力 $T_0$ がすべるときの力 $\mu mg$ より小さい必要があります：

$$T_0 < \mu mg$$ $$\frac{mgl}{2h} < \mu mg$$

両辺を $mg$ で割ると：

$$\frac{l}{2h} < \mu \quad \Rightarrow \quad \mu > \frac{l}{2h}$$

数値例：$h = 0.40$ m、$l = 0.20$ m のとき $l/(2h) = 0.20/(2 \times 0.40) = 0.25$。$\mu = 0.50$ なら $0.50 > 0.25$ を満たすので先に傾きます。$\mu = 0.20$ なら $0.20 < 0.25$ なので先にすべります。

補足：すべりと傾きの競合

$T$ を増加させていくとき、先に起きる方が実現します：

• すべり：$T = \mu mg$ のとき → 摩擦力が限界に達する
• 傾き：$T = T_0 = \frac{mgl}{2h}$ のとき → 垂直抗力の作用点が端に到達

$T_0 < \mu mg$ → $\frac{l}{2h} < \mu$ のとき先に傾く。逆に $\mu < \frac{l}{2h}$ なら先にすべる。

縦長（$h \gg l$）の物体は $\frac{l}{2h}$ が小さく傾きやすい。横長（$l \gg h$）の物体はすべりやすい。