(1) 最下点Bでの速さ $v$：
A→Bは曲面がなめらかなのでエネルギー保存。Aの高さは $R$（Bを基準）で静止から出発：
$$mgR = \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gR}$$(2) CX間の距離 $s$：
Bでの運動エネルギー $\frac{1}{2}mv^2 = mgR$ を使い、B→C→X（Xで速度 0）でエネルギー収支を立てます。
BC間（水平面、距離 $BC$）の摩擦の仕事：$-\mu' mg \cdot BC$
CX間（斜面上、距離 $s$）の摩擦の仕事：$-\mu' mg\cos\theta \cdot s$
CXの位置エネルギー増加：$mg \cdot s\sin\theta$
$$mgR = \mu' mg \cdot BC + \mu' mg\cos\theta \cdot s + mg \cdot s\sin\theta$$ $$R = \mu' \cdot BC + s(\sin\theta + \mu'\cos\theta)$$ $$s = \frac{R - \mu' \cdot BC}{\sin\theta + \mu'\cos\theta}$$(3) 最高点Yの高さ $H$（Bを基準）：
Xで折り返して戻る際、摩擦区間（BC + CX）をもう1回通ります。全行程の摩擦の仕事（往復で2回分）：
$$W_f = -2\mu' mg(BC + s\cos\theta)$$A → Y でのエネルギー収支（Yで速さ 0）：
$$mgR = mgH + 2\mu' mg(BC + s\cos\theta)$$ $$H = R - 2\mu'(BC + s\cos\theta)$$力を列挙する際は、①重力 ②垂直抗力 ③張力 ④摩擦力 ⑤弾性力 の順に確認し、接触力と遠隔力を分けて図示すると見落としを防げます。
摩擦のある区間とない区間が混在する問題では、区間ごとにエネルギーの収支を整理する。摩擦力の仕事は経路の長さ $\times$ 摩擦力で常に負。往復すると摩擦の仕事は2倍になる。
物体の質量 \(m = 1.0\) kg、A点の高さ \(h = 2.0\) m、あらい区間BCの長さ \(L = 1.0\) m、動摩擦係数 \(\mu' = 0.20\)、重力加速度 \(g = 9.8\) m/s² として計算する。
(1) B点での速さ \(v_B\)：A→Bは摩擦なしなのでエネルギー保存。
$$ \tfrac{1}{2} m v_B^2 = mgh \;\Longrightarrow\; v_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 2.0} \fallingdotseq 6.3 \text{ m/s} $$(2) C点での速さ \(v_C\)：あらい区間BCで摩擦力が \(W_f = \mu' mg L\) の仕事を奪う。
$$ \tfrac{1}{2} m v_C^2 = \tfrac{1}{2} m v_B^2 - \mu' mg L = 1.0 \times 9.8 \times 2.0 - 0.20 \times 1.0 \times 9.8 \times 1.0 = 19.6 - 1.96 = 17.64 \text{ J} $$ $$ v_C = \sqrt{2 \times 17.64 / 1.0} \fallingdotseq 5.94 \text{ m/s} $$(3) 戻ってきてB点を再通過するときの速さ \(v_B'\)：CB間を再び通過し摩擦の仕事を再度受ける（合計2回）。
$$ \tfrac{1}{2} m v_B'^2 = mgh - 2\mu' mg L = 19.6 - 2 \times 1.96 = 15.68 \text{ J} $$ $$ v_B' = \sqrt{2 \times 15.68 / 1.0} \fallingdotseq 5.6 \text{ m/s} $$