各設問の解法

(1) ばねを押し縮めるための仕事 $W$：

ばねを $l$ だけ縮めるのに必要な仕事は弾性エネルギーに等しい：

$$W = \frac{1}{2}kl^2$$

(2) Bが離れた直後の速さ $v$：

AとBが接触したまま運動し、ばねが自然長に戻った瞬間にBは離れます。エネルギー保存（A, B合計質量 $2m$）：

$$\frac{1}{2}kl^2 = \frac{1}{2}(2m)v^2$$ $$v = l\sqrt{\frac{k}{2m}} = \frac{l}{2}\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{l}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

（正確には $v = l\sqrt{k/(2m)}$。ここで $\sqrt{k/(2m)} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{k/m}$ なので $v = \frac{l}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{k/m}$。問題の設定に応じて整理。）

(3) Bが離れた後のばねの最大伸び $x$：

分離後、Aだけ（質量 $m$）がばねにつながって速さ $v$ で運動。最も伸びたとき速さ 0：

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2 \quad \Rightarrow \quad x = v\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{l}{2}$$

(4) Bが達する最高点の高さ $h$：

Bは速さ $v$ で斜面を上ります。なめらかな面なのでエネルギー保存：

$$\frac{1}{2}mv^2 = mgh \quad \Rightarrow \quad h = \frac{v^2}{2g} = \frac{kl^2}{8mg}$$

補足：BがAから離れるタイミング

AとBは接しているだけで固定されていません。ばねが自然長のとき、ばねの復元力は0です。ばねが伸び始めるとAを引き戻す力が働きますが、BにはAからの力がないと前に進み続けます。

したがって、BがAから離れるのはばねが自然の長さに戻った瞬間です。

具体的な数値で確認

物体A、Bの質量 \(m_A = 2.0\) kg、\(m_B = 1.0\) kg、ばね定数 \(k = 200\) N/m、ばねの初期縮み \(x_0 = 0.10\) m、重力加速度 \(g = 9.8\) m/s² として計算する。

(1) 分離する瞬間（ばねが自然長）の速さ \(v\)：A+Bが一体で動き、ばねの弾性エネルギーが運動エネルギーに変わる。

$$ \tfrac{1}{2} k x_0^2 = \tfrac{1}{2}(m_A + m_B) v^2 $$ $$ v^2 = \frac{k x_0^2}{m_A + m_B} = \frac{200 \times 0.10^2}{2.0 + 1.0} = \frac{2.0}{3.0} \fallingdotseq 0.667 \text{ m}^2/\text{s}^2 $$ $$ v = \sqrt{0.667} \fallingdotseq 0.816 \text{ m/s} $$

(2) 分離後、Bは等速 \(v \fallingdotseq 0.816\) m/s で進み、なめらかな斜面（角度 \(\theta = 30°\)）を上る。最大の高さ \(h\)：

$$ \tfrac{1}{2} m_B v^2 = m_B g h \;\Longrightarrow\; h = \frac{v^2}{2g} = \frac{0.667}{2 \times 9.8} \fallingdotseq 0.034 \text{ m} $$

斜面に沿って進む距離 \(s\)：

$$ s = \frac{h}{\sin 30°} = \frac{0.034}{0.5} \fallingdotseq 0.068 \text{ m} $$