[A] なめらかな斜面の場合

(1) 静止しているときのばねの伸び $x_1$：

斜面方向の力のつりあい（ばねの復元力 = 重力の斜面成分）：

$$kx_1 = mg\sin\theta \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{mg\sin\theta}{k}$$

(2) 自然長の位置を通過するときの速さ $v_1$：

自然長の位置で物体をはなし（速さ 0）、斜面を下ってつりあい位置（$x_1$ 下）を通過するときの速さを求めます。

自然長位置を基準にエネルギー保存（自然長位置 → つりあい位置）：

$$0 + 0 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}kx_1^2 - mgx_1\sin\theta$$ $$mgx_1\sin\theta - \frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}mv_1^2$$

$kx_1 = mg\sin\theta$ を代入すると $mgx_1\sin\theta = kx_1^2$：

$$kx_1^2 - \frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}mv_1^2$$ $$v_1 = x_1\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{mg\sin\theta}{k}\sqrt{\frac{k}{m}} = g\sin\theta\sqrt{\frac{m}{k}}$$

(3) 最下点に達したときのばねの伸び $x_2$：

最下点では速さが 0。自然長の位置を基準にエネルギー保存：

$$0 = \frac{1}{2}kx_2^2 - mgx_2\sin\theta$$ $$mgx_2\sin\theta = \frac{1}{2}kx_2^2 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{2mg\sin\theta}{k} = 2x_1$$

[B] 摩擦のある場合

(4) 自然長の位置で物体が静止する条件：

動摩擦係数 $\mu$、静止摩擦係数 $\mu'$（$\mu' < \mu < \tan\theta$）とします。

自然長位置に到達するには、つりあい位置から $x_1$ だけ上昇する間のエネルギー収支：

$$\frac{1}{2}kx_1^2 = mgx_1\sin\theta + \mu mg\cos\theta \cdot x_1$$

左辺が右辺以上であればよい。$kx_1 = mg\sin\theta$ を代入して整理すると $\mu \leq \dfrac{\tan\theta}{2}$ が必要。

自然長位置で静止する条件（静止摩擦力が重力斜面成分を支える）：

$$\mu' mg\cos\theta \geq mg\sin\theta \quad \Rightarrow \quad \mu' \geq \tan\theta$$

(5) 最下点到達後、再び上昇する条件：

最下点でのばねの伸びを $x_3$ とすると、自然長→最下点でエネルギー保存（摩擦込み）：

$$mgx_3\sin\theta = \frac{1}{2}kx_3^2 + \mu mg\cos\theta \cdot x_3$$

再び上昇するには、最下点でのばねの力が重力斜面成分＋最大静止摩擦力を超える必要があります：

$$kx_3 > mg\sin\theta + \mu' mg\cos\theta$$

補足：力の見落とし防止チェックリスト

力を列挙する際は、①重力 ②垂直抗力 ③張力 ④摩擦力 ⑤弾性力 の順に確認し、接触力と遠隔力を分けて図示すると見落としを防げます。

🧮 数値計算で確認

ばね定数 \(k = 200\) N/m、質量 \(m = 0.50\) kg のばね振り子の場合：

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = 20 \text{ rad/s}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} \fallingdotseq 0.31 \text{ s}$$ $$\text{振幅 } A = 0.10 \text{ m のとき } v_{\max} = A\omega = 0.10 \times 20 = 2.0 \text{ m/s}$$