(1) ばね定数：
板（$2m$）と小球（$m$）の合計質量 $3m$ が、ばねを $d$ だけ縮めてつりあい：
$$kd = 3mg \quad \Rightarrow \quad k = \frac{3mg}{d}$$(2) 位置 $x$ での加速度および垂直抗力：
つりあい位置を原点（$x = 0$）、鉛直上向きを正。板+小球の系の運動方程式：
$$3m\ddot{x} = -kx \quad \Rightarrow \quad \ddot{x} = -\frac{k}{3m}x = -\frac{g}{d}x$$小球の運動方程式（上向き正、垂直抗力 $N$）：
$$m\ddot{x} = N - mg \quad \Rightarrow \quad N = m\ddot{x} + mg = -\frac{mg}{d}x + mg = mg\left(1 - \frac{x}{d}\right)$$(3) 小球が板から離れる条件：
$N = 0$ で分離：
$$mg\left(1 - \frac{x}{d}\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = d$$振動の振幅 $ad$ が $d$ 以上であれば $x = d$ に到達できるので、条件は $a \geq 1$。
分離時の速さ（単振動のエネルギー保存：$x = -ad$ から $x = d$）：
$$\frac{1}{2}k(ad)^2 = \frac{1}{2}kd^2 + \frac{1}{2}(3m)v^2$$ $$\frac{1}{2} \cdot \frac{3mg}{d}(a^2d^2 - d^2) = \frac{3}{2}mv^2$$ $$v = \sqrt{gd(a^2 - 1)}$$(4) 小球の最高到達点：
分離後、小球は $x = d$ の位置から速さ $v$ で上方に飛び出し、自由投射：
$$\frac{1}{2}mv^2 = mg(x_{\max} - d) \quad \Rightarrow \quad x_{\max} = d + \frac{v^2}{2g} = d + \frac{d(a^2-1)}{2} = \frac{d(a^2+1)}{2}$$加速度：$\ddot{x} = -\dfrac{g}{d}x$
垂直抗力：$N = mg\left(1 - \dfrac{x}{d}\right)$
条件：$a \geq 1$
離れる位置：$x = d$（自然の長さの位置）
離れるときの速さ：$v = \sqrt{gd(a^2 - 1)}$
（つりあい位置を基準として上方 $\dfrac{d(a^2+1)}{2}$ の位置）
$a = 1$ のとき、ちょうど自然長の位置で速さ0で到達し、垂直抗力も0になります。このとき分離はしますが飛び出す速さは0なので、その場で離れてすぐ落ちてきます。
$a > 1$ のとき初めて、分離後に上方に飛び出します。
$x(t) = -ad\cos\omega t$（$\omega = \sqrt{k/3m} = \sqrt{g/d}$）
$v(t) = ad\omega\sin\omega t$
$x = d$ のとき $\cos\omega t = -1/a$
$v = ad\omega\sqrt{1 - 1/a^2} = d\omega\sqrt{a^2 - 1} = \sqrt{gd(a^2 - 1)}$
上記の結果と一致します。
板の上の小球が離れる条件は垂直抗力 $N = 0$。ばね振動では $N = mg(1 - x/d)$ なので $x = d$（自然長位置）で分離。分離後は自由投射。振幅 $\geq d$（$a \geq 1$）が必要条件。
板＋小球の合計質量 \(M = 0.50\) kg、ばね定数 \(k = 49\) N/m、重力加速度 \(g = 9.8\) m/s² として、つりあい位置でのばねの縮み \(d\) と分離位置を計算する。
つりあい位置でのばねの縮み \(d\)：
$$ kd = Mg \;\Longrightarrow\; d = \frac{Mg}{k} = \frac{0.50 \times 9.8}{49} = 0.10 \text{ m} $$振動の角振動数 \(\omega\)：
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{49}{0.50}} = \sqrt{98} \fallingdotseq 9.90 \text{ rad/s} $$小球の運動方程式（つりあい位置からの変位 \(x\)、上向き正）：
$$ N - mg = -m\omega^2 x \;\Longrightarrow\; N = m(g - \omega^2 x) = mg\left(1 - \frac{x}{d}\right) $$\(N = 0\) になるのは \(x = d = 0.10\) m（つまり自然長の位置）。振幅 \(A\) がこの値以上でなければ分離しない。
振幅 \(A = 0.15\) m のとき、分離直後の小球の速さ \(v\)（\(x = d\) で）：
$$ v = \omega \sqrt{A^2 - d^2} = 9.90 \times \sqrt{0.15^2 - 0.10^2} \fallingdotseq 9.90 \times 0.112 \fallingdotseq 1.11 \text{ m/s} $$