斜面を使った仕事と仕事の原理

設定：水平面と 30° の角をなす、なめらかな斜面にそって質量 20 kg の物体をゆっくり引き上げる。$g = 9.8$ m/s²。

(1) 引く力の大きさと仕事

ゆっくり（等速）なので、斜面に沿った方向の力のつり合い：

$$T = mg\sin 30° = 20 \times 9.8 \times 0.50 = 98 \text{ N}$$

斜面の長さを $l$ とすると、高さ $h = l\sin 30°$ なので：

$$W = T \times l = mg\sin 30° \times l = mg \times l\sin 30° = mgh$$

つまり $W = mgh$ であり、高さ $h$ で決まります。

(2) 直接同じ高さまで引き上げた場合

直接持ち上げるには $F = mg = 196$ N の力で高さ $h$ だけ引き上げる：

$$W' = mg \times h = mgh$$

斜面を使った場合と同じ仕事になる（仕事の原理）。

(3) 斜面があらい（摩擦あり）場合

摩擦力 $f = \mu' mg\cos 30°$ が加わり、引く力と仕事が増える：

$$T' = mg\sin 30° + \mu' mg\cos 30°$$ $$W' = T' \times l = mgl\sin 30° + \mu' mgl\cos 30° = mgh + \mu' mgl\cos 30°$$

具体的な数値計算（$h = 5.0$ m の場合）：

斜面に沿って引き上げる場合：

$$T = mg\sin 30° = 20 \times 9.8 \times 0.50 = 98 \text{ N}$$ $$l = \frac{h}{\sin 30°} = \frac{5.0}{0.50} = 10 \text{ m}$$ $$W = T \times l = 98 \times 10 = 980 \text{ J}$$

直接持ち上げる場合：

$$W' = mgh = 20 \times 9.8 \times 5.0 = 980 \text{ J}$$

どちらも仕事は $980$ J で同じ（仕事の原理）。

補足：仕事とエネルギーの関係

仕事-エネルギー定理より、合力がした仕事は運動エネルギーの変化に等しい：

$$W_{\text{合}} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$