自由落下における力学的エネルギー

設定：高さ $h_0$ から自由落下する物体。地面を位置エネルギーの基準面とする。

(1) 運動エネルギー $K$（地面を基準）

自由落下の公式より、高さ $h$ での速さ：

$$v^2 = 2g(h_0 - h)$$

よって運動エネルギーは：

$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \cdot 2g(h_0 - h) = mg(h_0 - h)$$

$h = h_0$（出発点）で $K = 0$、$h = 0$（地面）で $K = mgh_0$。$K$ は $h$ に対する右下がりの直線。

(2) 位置エネルギー $U$（地面を基準）

$$U = mgh$$

$h = 0$ で $U = 0$、$h = h_0$ で $U = mgh_0$。$U$ は $h$ に対する右上がりの直線。

(3) 力学的エネルギー $E$

$$E = K + U = mg(h_0 - h) + mgh = mgh_0 \text{（一定）}$$

力学的エネルギーは高さによらず常に $mgh_0$ です。これが力学的エネルギー保存則です。

補足：仕事とエネルギーの関係

仕事-エネルギー定理より、合力がした仕事は運動エネルギーの変化に等しい：

$$W_{\text{合}} = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$

具体的な数値で確認

物体の質量 \(m = 1.0\) kg、初期高さ \(h_0 = 5.0\) m、重力加速度 \(g = 9.8\) m/s² として、自由落下中の各高さでの運動エネルギー \(K\) と位置エネルギー \(U\) を計算する。

初期状態（\(h = 5.0\) m、静止）：

$$ U_0 = mgh_0 = 1.0 \times 9.8 \times 5.0 = 49 \text{ J},\quad K_0 = 0 \text{ J} $$

高さ \(h = 2.5\) m に達したとき（落下距離 \(\Delta h = 2.5\) m）：

$$ U = mgh = 1.0 \times 9.8 \times 2.5 = 24.5 \text{ J} $$ $$ K = mg(h_0 - h) = 1.0 \times 9.8 \times (5.0 - 2.5) = 24.5 \text{ J} $$ $$ K + U = 24.5 + 24.5 = 49 \text{ J} \;\checkmark $$

地面に到達する瞬間（\(h = 0\)）：

$$ U = 0 \text{ J},\quad K = mgh_0 = 49 \text{ J} $$

このときの速さ：

$$ v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 49}{1.0}} = \sqrt{98} \fallingdotseq 9.9 \text{ m/s} $$

\(K\) と \(U\) はいずれも \(h\) に対する直線で、和は常に 49 J で一定。