設定：なめらかな曲面上を物体が A → B → C と運動する。A の高さを $h_A$、B の高さを $0$（基準面）、C の高さを $h_C$ とする。A で静止から出発。
A（高さ $h_A$、速さ 0）と B（高さ 0、速さ $v_B$）で力学的エネルギー保存：
$$\frac{1}{2}mv_A^2 + mgh_A = \frac{1}{2}mv_B^2 + mg \cdot 0$$$v_A = 0$ を代入：
$$mgh_A = \frac{1}{2}mv_B^2$$ $$v_B^2 = 2gh_A \quad \Rightarrow \quad v_B = \sqrt{2gh_A}$$C で速さ $0$ になるとき、A → C でエネルギー保存：
$$mgh_A = mgh_C$$ $$\therefore h_C = h_A$$なめらかな面では力学的エネルギーが保存されるので、出発点と同じ高さまで到達できます。
力を列挙する際は、①重力 ②垂直抗力 ③張力 ④摩擦力 ⑤弾性力 の順に確認し、接触力と遠隔力を分けて図示すると見落としを防げます。
力学的エネルギー保存則：$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2$。なめらかな面では摩擦がないので、力学的エネルギーは保存する。出発点の高さまで到達可能。
物体の質量 \(m = 0.50\) kg、A点の高さ \(h_A = 1.6\) m、重力加速度 \(g = 9.8\) m/s² として、最下点Bでの速さと到達できる最大高さを計算する。
(1) Bでの速さ \(v_B\)：A→Bは摩擦なしなのでエネルギー保存。Bを位置エネルギーの基準とする。
$$ \tfrac{1}{2} m v_B^2 + 0 = 0 + m g h_A $$ $$ v_B = \sqrt{2 g h_A} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1.6} = \sqrt{31.36} \fallingdotseq 5.6 \text{ m/s} $$(2) C点で再び到達する最大高さ \(x\)：B→Cも摩擦なしなのでエネルギー保存により、出発点と同じ高さまで上がる。
$$ m g x = \tfrac{1}{2} m v_B^2 = m g h_A \;\Longrightarrow\; x = h_A = 1.6 \text{ m} $$力学的エネルギー \(E\) は途中で常に一定：
$$ E = m g h_A = 0.50 \times 9.8 \times 1.6 = 7.84 \text{ J} $$なめらかな面では物体は何度でも往復し、最高点では常に同じ高さ 1.6 m まで戻る。