曲面からの飛び出しと放物運動

設定：なめらかな曲面の高さ $h_1 = 1.60$ m の点 A から小球を静かに放す。曲面の端 B は高さ $h_2 = 1.20$ m。$g = 9.8$ m/s²。

(1) B での速さ

A（高さ $h_1 = 1.60$ m、速さ 0）→ B（高さ $h_2 = 1.20$ m、速さ $v_B$）でエネルギー保存：

$$mgh_1 = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgh_2$$ $$v_B = \sqrt{2g(h_1 - h_2)} = \sqrt{2 \times 9.8 \times (1.60 - 1.20)} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.40}$$ $$= \sqrt{7.84} = 2.8 \text{ m/s}$$

(2) B から水平投射、地面に達するまでの時間

B から水平投射。鉛直方向に高さ $h_2 = 1.20$ m を自由落下：

$$h_2 = \frac{1}{2}gt^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h_2}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.20}{9.8}} = \sqrt{0.2449} \fallingdotseq 0.49 \text{ s}$$

(3) 着地点までの水平距離

水平方向は等速運動：

$$x = v_B t = 2.8 \times 0.49 = 1.372 \fallingdotseq 1.4 \text{ m}$$

(4) 着地直前の速さ

鉛直速度：

$$v_y = gt = 9.8 \times 0.49 = 4.802 \fallingdotseq 4.8 \text{ m/s}$$

合成速度：

$$v = \sqrt{v_B^2 + v_y^2} = \sqrt{2.8^2 + 4.8^2} = \sqrt{7.84 + 23.04} = \sqrt{30.88} \fallingdotseq 5.6 \text{ m/s}$$

別解：着地速さをエネルギー保存で求める

A（高さ $h_1$、速さ $0$）→ 地面（高さ $0$、速さ $v$）：

$$mgh_1 = \frac{1}{2}mv^2$$ $$v = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1.60} = \sqrt{31.36} = 5.6 \text{ m/s}$$