振り子の力学的エネルギー保存

設定：長さ $l$ の糸の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子。糸が鉛直と角 $\theta_0$ をなす位置で静かに放す。$g$ を重力加速度とする。

(1) 最下点での速さ $v$

放す位置の高さ（最下点を基準）：

$$h = l - l\cos\theta_0 = l(1 - \cos\theta_0)$$

放す位置（速さ 0、高さ $h$）→ 最下点（速さ $v$、高さ 0）でエネルギー保存：

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$ $$mg \cdot l(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv^2$$ $$v = \sqrt{2gl(1 - \cos\theta_0)}$$

(2) 最下点での糸の張力 $T$

最下点では円運動の向心力の式（上向きを正）：

$$T - mg = \frac{mv^2}{l}$$

(1) の結果 $v^2 = 2gl(1 - \cos\theta_0)$ を代入：

$$T = mg + \frac{mv^2}{l} = mg + \frac{m \cdot 2gl(1 - \cos\theta_0)}{l}$$ $$= mg + 2mg(1 - \cos\theta_0) = mg(1 + 2 - 2\cos\theta_0)$$ $$= mg(3 - 2\cos\theta_0)$$

補足：糸の張力が仕事をしない理由

糸の張力は常に運動方向（接線方向）に直交するため、$W = T \cdot ds \cdot \cos 90° = 0$ となり仕事は 0 です。よって力学的エネルギー保存が成り立ちます。

🧮 数値計算で確認

質量 \(m = 3.0\) kg の物体に \(F = 12\) N の力を加えると：

$$a = \frac{F}{m} = \frac{12}{3.0} = 4.0 \text{ m/s}^2$$ $$t = 2.0 \text{ s 後: } v = at = 4.0 \times 2.0 = 8.0 \text{ m/s}$$ $$x = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 4.0 \times 4.0 = 8.0 \text{ m}$$