ばねと摩擦がある系の運動

設定：点 A を基準にばねを $x_0$ だけ圧縮して物体を放す。A から B まではなめらか、B 以降は動摩擦係数 $\mu'$ のあらい水平面。物体は B を通過して距離 $d$ で停止。

(1) ばねを離す → B に到達

A → B はなめらかなので力学的エネルギー保存（ばねの弾性エネルギー → 運動エネルギー）：

$$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv_B^2$$ $$v_B = x_0\sqrt{\frac{k}{m}}$$

(2) B → 停止点

B 以降は摩擦力 $f = \mu' mg$ が運動と逆向きに作用。距離 $d$ で停止：

$$\frac{1}{2}mv_B^2 = \mu' mg \cdot d$$

(3) 全体のエネルギー関係

A → 停止点でまとめると、弾性エネルギー = 摩擦熱：

$$\frac{1}{2}kx_0^2 = \mu' mg \cdot d$$ $$d = \frac{kx_0^2}{2\mu' mg}$$

補足：力の見落とし防止チェックリスト

力を列挙する際は、①重力 ②垂直抗力 ③張力 ④摩擦力 ⑤弾性力 の順に確認し、接触力と遠隔力を分けて図示すると見落としを防げます。

具体的な数値で確認

物体の質量 \(m = 0.20\) kg、ばね定数 \(k = 50\) N/m、ばねの初期縮み \(x_0 = 0.10\) m、動摩擦係数 \(\mu' = 0.25\)、重力加速度 \(g = 9.8\) m/s² として計算する。

(1) ばねが自然長に戻る瞬間（=ばねから離れる点B）の速さ \(v_B\)：弾性エネルギーが運動エネルギーに変わる（ばねの区間はなめらかと仮定）。

$$ \tfrac{1}{2} k x_0^2 = \tfrac{1}{2} m v_B^2 $$ $$ v_B = x_0 \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.10 \times \sqrt{\frac{50}{0.20}} = 0.10 \times \sqrt{250} \fallingdotseq 1.58 \text{ m/s} $$

(2) Bからあらい面に入り、停止するまでの距離 \(d\)：摩擦力 \(\mu' m g\) が物体の運動エネルギーをすべて熱に変える。

$$ \tfrac{1}{2} m v_B^2 = \mu' m g \cdot d $$ $$ d = \frac{v_B^2}{2 \mu' g} = \frac{1.58^2}{2 \times 0.25 \times 9.8} = \frac{2.5}{4.9} \fallingdotseq 0.51 \text{ m} $$

または初期の弾性エネルギーから直接：

$$ d = \frac{k x_0^2}{2 \mu' m g} = \frac{50 \times 0.10^2}{2 \times 0.25 \times 0.20 \times 9.8} \fallingdotseq 0.51 \text{ m} $$