鉛直ばねと物体の運動

設定：ばね定数 $k$ [N/m] のばねの一端を天井に固定し、他端に質量 $m$ [kg] の物体を取り付ける。ばねが自然長の位置で手で支え、静かに放す。$g$ を重力加速度とする。

(1) つり合いの位置

つり合いの位置ではばねの弾性力と重力がつり合います。自然長からの伸びを $x_0$ とすると：

$$kx_0 = mg \quad \Rightarrow \quad x_0 = \frac{mg}{k}$$

数値例：$m = 0.50$ kg、$k = 49$ N/m、$g = 9.8$ m/s² のとき：

$$x_0 = \frac{0.50 \times 9.8}{49} = \frac{4.9}{49} = 0.10 \text{ m} = 10 \text{ cm}$$

(2) 物体を支える力 $F$

自然長の位置ではばねの伸びが $0$ なので弾性力は $0$ です。手の力 $F$ が全重力を支えます：

$$F = mg$$

数値例：$m = 0.50$ kg のとき $F = 0.50 \times 9.8 = 4.9$ N

(3) 最下点の伸び

自然長の位置（速さ $0$）から最下点（速さ $0$）まで、力学的エネルギー保存則を適用します。自然長の位置を重力の位置エネルギーの基準にとると、最下点（伸び $x_{\max}$）で：

$$0 + 0 = \frac{1}{2}kx_{\max}^2 - mgx_{\max}$$

整理すると（$x_{\max} \neq 0$ で割って）：

$$mgx_{\max} = \frac{1}{2}kx_{\max}^2 \quad \Rightarrow \quad x_{\max} = \frac{2mg}{k} = 2x_0$$

数値例：$m = 0.50$ kg、$k = 49$ N/m のとき：

$$x_{\max} = \frac{2 \times 0.50 \times 9.8}{49} = \frac{9.8}{49} = 0.20 \text{ m} = 20 \text{ cm}$$

つり合い位置の伸び（$10$ cm）のちょうど $2$ 倍です。

補足：つり合い位置での速さ

自然長 → つり合い位置 $x_0$ でエネルギー保存：

$$mgx_0 = \frac{1}{2}kx_0^2 + \frac{1}{2}mv^2$$ $$\frac{1}{2}mv^2 = mgx_0 - \frac{1}{2}kx_0^2 = mg \cdot \frac{mg}{k} - \frac{1}{2}k\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{m^2g^2}{2k}$$ $$v = \frac{mg}{\sqrt{mk}} = g\sqrt{\frac{m}{k}}$$