AとBの衝突（弾性衝突, \(e = 1\), 等質量 \(m\)）：
運動量保存則：
$$mv_0 + m \times 0 = mv_A' + mv_B' \quad \cdots (1)$$反発係数の式（\(e = 1\)）：
$$e = \frac{v_B' - v_A'}{v_0 - 0} = 1 \quad \Rightarrow \quad v_B' - v_A' = v_0 \quad \cdots (2)$$(1) を $m$ で割ると $v_A' + v_B' = v_0$。(2) は $v_B' - v_A' = v_0$。
(1) + (2) より $2v_B' = 2v_0$、すなわち $v_B' = v_0$。(1) に代入して $v_A' = 0$。
等質量の弾性衝突：速度が完全に交換される。静止物体に衝突すると、衝突した物体が止まり、相手が元の速度で飛び出す。
B+C系で運動量保存（ばねの力は内力）：
ばねが最も縮んだ瞬間、BとCは同じ速度 \(V\) で動く。
$$mv_0 + m \times 0 = (m + m)V$$ $$mv_0 = 2mV$$ $$V = \frac{v_0}{2}$$ばねが最も縮む（伸びる）瞬間 → 2物体の速度が等しい。運動量保存で共通速度を求める。
エネルギー保存（衝突直後 → ばね最大縮み時）：
衝突直後のBの運動エネルギーが、最大縮み時のB+Cの運動エネルギーとばねの弾性エネルギーに変わる：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(2m)\!\left(\frac{v_0}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}kd^2$$右辺第1項を計算：
$$\frac{1}{2}(2m) \times \frac{v_0^2}{4} = \frac{mv_0^2}{4}$$したがって：
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{mv_0^2}{4} + \frac{1}{2}kd^2$$ $$\frac{1}{2}kd^2 = \frac{mv_0^2}{2} - \frac{mv_0^2}{4} = \frac{mv_0^2}{4}$$ $$kd^2 = \frac{mv_0^2}{2}$$ $$d = v_0\sqrt{\frac{m}{2k}}$$力を列挙する際は、①重力 ②垂直抗力 ③張力 ④摩擦力 ⑤弾性力 の順に確認し、接触力と遠隔力を分けて図示すると見落としを防げます。
ばねの最大縮みでは運動エネルギーの一部がばねの弾性エネルギーに変わる。運動量保存 + エネルギー保存の組み合わせで解く。
ばね定数 \(k = 200\) N/m、質量 \(m = 0.50\) kg のばね振り子の場合：
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = 20 \text{ rad/s}$$ $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} \fallingdotseq 0.31 \text{ s}$$ $$\text{振幅 } A = 0.10 \text{ m のとき } v_{\max} = A\omega = 0.10 \times 20 = 2.0 \text{ m/s}$$