設問(1)　衝突直後の速さと \(\theta\)

衝突前の速さ：高さ $h$ から自由落下するので、エネルギー保存より

$$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh \quad \Rightarrow \quad v_0 = \sqrt{2gh}$$

速度の分解（斜面に対して）：

衝突前の速度 \(\vec{v} = (0, -v_0)\) を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解：

• 斜面に平行（沿って下る方向）：\(v_{\parallel} = v_0 \sin 45° = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\)
• 斜面に垂直（斜面に向かう方向）：\(v_{\perp} = v_0 \cos 45° = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\)

衝突後（弾性衝突, \(e = 1\)）：

• 平行成分：変化なし → \(v_{\parallel}' = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\)
• 垂直成分：向きが反転 → \(v_{\perp}' = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}}\)（斜面から離れる向き）

衝突後の速さ：

$$v' = \sqrt{v_{\parallel}'^2 + v_{\perp}'^2} = \sqrt{\left(\frac{v_0}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{v_0}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{v_0^2}{2} + \frac{v_0^2}{2}} = v_0$$

衝突後の向き：水平・鉛直に分解し直すと、$\vec{v'} = (-v_0, 0)$（水平に斜面の下方向）

設問(2)　斜面から受ける力積の大きさ

衝突前後の運動量：

衝突前：$\vec{p} = m(0,\;-v_0)$、衝突後：$\vec{p'} = m(-v_0,\;0)$

力積 = 運動量の変化：

$$\vec{I} = \vec{p'} - \vec{p} = m(-v_0,\;0) - m(0,\;-v_0) = m(-v_0,\;v_0)$$

大きさ：

$$|\vec{I}| = m\sqrt{v_0^2 + v_0^2} = \sqrt{2}\,mv_0 = \sqrt{2}\,m\sqrt{2gh} = 2m\sqrt{gh}$$

設問(3)(4)　点Aから点Bまでの時間とAB間の距離

Aを原点、右向きを $x$ 正、上向きを $y$ 正とする座標系：

衝突後、小球は水平左向きに速さ $v_0$ で飛び出すので：

$$x(t) = -v_0 t, \quad y(t) = -\frac{1}{2}gt^2$$

斜面の方程式：45° 斜面なので、斜面上では $y = x$（左下方向に傾斜）。点Bで $y(t) = x(t)$ とおくと：

$$-\frac{1}{2}gt^2 = -v_0 t$$ $$\frac{1}{2}gt = v_0 \quad (\text{$t \neq 0$ を除く})$$ $$t = \frac{2v_0}{g}$$

$v_0 = \sqrt{2gh}$ を代入：

$$t = \frac{2\sqrt{2gh}}{g} = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

AB間の距離：

$$|x(t)| = v_0 t = \sqrt{2gh} \times 2\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{\frac{2gh \times 2h}{g}} = 2\sqrt{4h^2} = 4h$$ $$|y(t)| = \frac{1}{2}g t^2 = \frac{1}{2}g \times \frac{4 \times 2gh}{g^2} = 4h$$ $$AB = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(4h)^2 + (4h)^2} = 4h\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\,h$$

別解：斜面に沿った座標系で解く

斜面に沿って \(s\) 軸、垂直に \(n\) 軸を取ると、重力の成分は

$$g_s = g\sin 45° = \frac{g}{\sqrt{2}}, \quad g_n = g\cos 45° = \frac{g}{\sqrt{2}}$$

衝突後の速度は斜面に沿って \(v_0/\sqrt{2}\)、垂直に \(v_0/\sqrt{2}\)（斜面から離れる向き）。

斜面に戻る時間は \(n\) 方向で \(0 = v_0/\sqrt{2} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g/\sqrt{2} \cdot t^2\) より \(t = 2v_0/g\)。

この間の斜面に沿った移動距離が AB です。