鉛直方向の自由落下：初速 $0$ で高さ $h$ を落下するので、
$$h = \frac{1}{2}gt_1^2 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$数値例：$h = 1.25$ m、$g = 9.8$ m/s² のとき：
$$t_1 = \sqrt{\frac{2 \times 1.25}{9.8}} = \sqrt{\frac{2.50}{9.8}} = \sqrt{0.255} \fallingdotseq 0.505 \text{ s}$$水平投射の落下時間は鉛直方向のみで決まる。\(h = \frac{1}{2}gt^2\)。
1回目の衝突直前の鉛直速度：
$$v_{y0} = gt_1 = g\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$$1回目の衝突直後の鉛直速度：床との反発係数が $e$ なので、鉛直速度は $e$ 倍に：
$$v_{y1} = e\sqrt{2gh}$$はね上がる最大の高さ：衝突直後の速度で鉛直に投げ上げた最高点の高さ $H$ は：
$$v_{y1}^2 = 2gH \quad \Rightarrow \quad H = \frac{v_{y1}^2}{2g} = \frac{e^2 \cdot 2gh}{2g} = e^2 h$$数値例：$h = 1.25$ m、$e = 0.70$ のとき：
$$v_{y0} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1.25} = \sqrt{24.5} \fallingdotseq 4.95 \text{ m/s}$$ $$v_{y1} = 0.70 \times 4.95 = 3.47 \text{ m/s}$$ $$H = 0.70^2 \times 1.25 = 0.49 \times 1.25 = 0.6125 \text{ m} \fallingdotseq 0.61 \text{ m}$$床との衝突で鉛直速度が \(e\) 倍 → はね上がる高さは \(e^2\) 倍。\(n\) 回目の衝突後の最高高さは \(e^{2n}h\)。
各衝突で鉛直速度の大きさが \(e\) 倍になります。1回目の衝突直前の鉛直速度は \(v_{y0} = \sqrt{2gh}\) なので：
数値例：$h = 1.25$ m、$e = 0.70$、$v_{y0} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1.25} \fallingdotseq 4.95$ m/s のとき：
\(n\) 回衝突後の鉛直速度は初期値の \(e^n\) 倍。等比数列的に減衰。
\(n\) 回目の衝突後の上昇→下降の時間：
$n$ 回目の衝突後、鉛直速度 $v_{yn} = e^n\sqrt{2gh}$ で上昇し、頂点で速度 $0$ になり、同じ速さで落下してきます。上昇時間は：
$$t_{\text{上昇}} = \frac{v_{yn}}{g} = \frac{e^n\sqrt{2gh}}{g}$$滞空時間はその $2$ 倍：
$$T_n = 2 \cdot \frac{e^n\sqrt{2gh}}{g} = 2e^n \cdot \frac{\sqrt{2gh}}{g} = 2e^n\sqrt{\frac{2h}{g}}$$数値例：$h = 1.25$ m、$e = 0.70$、$g = 9.8$ m/s² のとき $\sqrt{2h/g} = \sqrt{0.255} = 0.505$ s。
バウンドの時間間隔は等比数列（公比 \(e\)）。\(T_n = e \cdot T_{n-1}\)。
全時間 \(T_{\text{total}}\) の計算：
最初の落下時間 $t_1 = \sqrt{2h/g}$ に加え、バウンドの滞空時間の総和 $T_0 + T_1 + T_2 + \cdots$ を求めます。
$T_n = 2e^n\sqrt{2h/g}$ は初項 $T_0 = 2\sqrt{2h/g}$、公比 $e$ の等比数列なので、無限等比級数の和は：
$$\sum_{n=0}^{\infty} T_n = \frac{2\sqrt{2h/g}}{1 - e}$$全時間：
$$T_{\text{total}} = t_1 + \sum_{n=0}^{\infty} T_n = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{2\sqrt{2h/g}}{1-e} = \sqrt{\frac{2h}{g}} \cdot \frac{1-e+2}{1-e} = \frac{1+e}{1-e}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$水平距離：水平速度 $v_0$ は衝突で変化しないので、
$$L = v_0 \cdot T_{\text{total}} = \frac{(1+e)v_0}{1-e}\sqrt{\frac{2h}{g}}$$数値例：$h = 1.25$ m、$e = 0.70$、$v_0 = 3.0$ m/s のとき：
$$T_{\text{total}} = \frac{1 + 0.70}{1 - 0.70} \times 0.505 = \frac{1.70}{0.30} \times 0.505 = 5.67 \times 0.505 = 2.86 \text{ s}$$ $$L = 3.0 \times 2.86 = 8.58 \text{ m}$$初項 \(a\)、公比 \(r\)（\(|r| < 1\)）の無限等比級数の和：
$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$$本問では \(a = T_0 = 2e^0 \cdot e \sqrt{2h/g}\)... 正確には初項 \(T_0 = 2e\sqrt{2h/g}\)、公比 \(e\) の等比級数です。
繰り返し衝突の合計時間は等比級数の和で求める。水平速度が不変なら \(L = v_0 \times T_{\text{total}}\)。\(\dfrac{1+e}{1-e}\) という形をよく覚えておくこと。