基本問題133 運動量と力積

設問(1)　バットがボールに加えた力積

直感的理解
速さが同じでも方向が変われば運動量は変化します。力積 \(\vec{I} = m\vec{v'} - m\vec{v}\) をベクトル図で描くと、始点をそろえた \(m\vec{v}\) の先端から \(m\vec{v'}\) の先端へ向かうベクトルが力積です。

設定：衝突前後で速さは同じ 30 m/s、方向が 60° 変わります。

\(|m\vec{v}| = |m\vec{v'}| = 0.15 \times 30 = 4.5\) kg·m/s

立式：\(|m\vec{v}| = |m\vec{v'}| = 4.5\) kg·m/s で、なす角が 60° の二等辺三角形です。速さが同じで方向だけ \(\theta\) 変わる場合の公式：

$$|I| = 2mv\sin\frac{\theta}{2}$$

数値代入：

$$|I| = 2 \times 4.5 \times \sin 30° = 2 \times 4.5 \times 0.50 = 4.5 \text{ N·s}$$
答え：
$$I = 4.5 \text{ N·s}$$
別解：成分計算

入射方向を \(x\) 軸とすると：

$$I_x = mv'\cos 60° - mv = 4.5 \times \frac{1}{2} - 4.5 = -2.25$$ $$I_y = mv'\sin 60° - 0 = 4.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3.90$$ $$|I| = \sqrt{2.25^2 + 3.90^2} = \sqrt{5.06 + 15.19} = \sqrt{20.25} = 4.5 \text{ N·s}$$
Point

速さが変わらず方向だけ \(\theta\) 変わる場合、力積の大きさは \(|I| = 2mv\sin(\theta/2)\)。\(\theta = 60°\) なら \(|I| = 2 \times 4.5 \times \sin 30° = 4.5\) N·s。

設問(2)　ボールが受けた平均の力

直感的理解
接触時間が非常に短い（0.01 秒）ので、平均の力は非常に大きくなります。短時間に大きな運動量変化を起こすには大きな力が必要です。

立式：平均の力 = 力積 / 接触時間

$$\bar{F} = \frac{I}{\Delta t}$$

数値代入：

$$\bar{F} = \frac{4.5}{0.010} = 450 = 4.5 \times 10^2 \text{ N}$$
答え：
$$F = 4.5 \times 10^2 \text{ N}$$
Point

接触時間が短いほど平均の力は大きくなる。\(\bar{F} = I / \Delta t\)。