立式：小物体に対して運動方程式を立てます。初速の向きを正とすると、動摩擦力は進行方向と逆向きに \(\mu' mg\) です。
$$ma = -\mu' mg$$途中計算：両辺を \(m\) で割ると
$$a = -\mu' g$$負号は初速の向きと逆向き（減速）を意味します。
動摩擦力は常に相対運動の逆向きに働きます。小物体は板に対して前方に滑っているので、摩擦力は後ろ向きです。
立式：板に対する運動方程式。作用反作用の法則より、板は小物体から \(\mu' mg\) の摩擦力を前向き（正の向き）に受けます。
$$MA = \mu' mg$$途中計算：両辺を \(M\) で割ると
$$A = \frac{\mu' mg}{M}$$作用反作用の法則：物体が板から受ける摩擦力と、板が物体から受ける摩擦力は大きさ等しく逆向き。
立式：物体の速度 \(v_0 - \mu' g t\) と板の速度 \(\dfrac{\mu' mg}{M} t\) が等しくなる時刻 \(t_0\) を求めます。
$$v_0 - \mu' g \, t_0 = \frac{\mu' mg}{M} \, t_0$$途中計算：\(t_0\) を含む項をまとめると
$$v_0 = \mu' g \, t_0 + \frac{\mu' mg}{M} \, t_0 = \mu' g \, t_0 \left(1 + \frac{m}{M}\right) = \frac{\mu' g \, t_0 (m + M)}{M}$$ $$t_0 = \frac{Mv_0}{\mu' g(m + M)}$$「板に対して静止する」＝「両者の速度が一致する」。2つの速度式を等号で結びます。
方法1：運動量保存則
水平方向の外力がゼロなので系全体の運動量が保存されます。初めは小物体のみ運動していたので：
$$mv_0 + M \times 0 = (m + M)V$$途中計算：
$$V = \frac{mv_0}{m + M}$$板の速度に \(t_0\) を代入しても同じ結果が得られます。
$$V = \frac{\mu' mg}{M} \cdot \frac{Mv_0}{\mu' g(m + M)} = \frac{mv_0}{m + M}$$外力なしの系では運動量が保存します。最終速度は運動量保存から直接求めるのが最も簡潔です。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
\(m = 1.0\) kg, \(M = 3.0\) kg, \(v_0 = 4.0\) m/s とすると:
$$V = \frac{mv_0}{m+M} = \frac{1.0 \times 4.0}{4.0} = 1.0 \text{ m/s}$$ $$\Delta p_m = m(V - v_0) = 1.0 \times (1.0 - 4.0) = -3.0 \text{ kg·m/s}$$ $$\Delta K = \frac{1}{2}(m+M)V^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}\times 4.0 \times 1.0^2 - \frac{1}{2}\times 1.0 \times 16 = -6.0 \text{ J}$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。