立式：板の長さを \(L\) とします。人が板に対して \(L\) だけ移動したとき、板の地面に対する移動距離を \(d\) とおきます。
人の地面に対する変位は \(L - d\)（板が \(d\) だけ逆にずれるので）、板の変位は \(-d\) です。
重心不動の条件（外力なし）：
$$m(L - d) + M(-d) = 0$$途中計算：展開すると
$$mL - md - Md = 0$$ $$mL = (m + M)d$$ $$d = \frac{mL}{m + M}$$（人の進行方向と逆向きに移動）
外力ゼロの系では重心が動かない。この条件を \(m\Delta x_1 + M\Delta x_2 = 0\) と表して変位を求めます。
理由：
重心に対する運動方程式は
$$(m + M) a_G = F_{\text{外}}$$水平方向の外力 \(F_{\text{外}} = 0\)（床がなめらか）なので、\(a_G = 0\)。
初め静止していたので \(v_G = 0\) のまま。
反発係数 $e$ の定義は：
$$e = -\frac{v_1^{\prime} - v_2^{\prime}}{v_1 - v_2}$$完全弾性衝突（$e = 1$）では運動エネルギーも保存されます。
重心の運動方程式 \(F_{\text{外}} = Ma_G\) は、系の内力（人と板の間の摩擦）には無関係。外力だけが重心の運動を決めます。
たとえば長さ \(L = 2.0\) m、質量 \(M = 10\) kg の一様な棒の端 A を支点とし、A から \(d = 1.5\) m の点に \(F = 30\) N の力を加える場合：
$$\text{棒の重力のモーメント：} M_1 = Mg \times \frac{L}{2} = 10 \times 9.8 \times 1.0 = 98 \text{ N·m}$$ $$\text{外力のモーメント：} M_2 = F \times d = 30 \times 1.5 = 45 \text{ N·m}$$