設定：入射方向をx軸、垂直方向をy軸とします。衝突後、Aが入射方向と角度 \(\alpha\) をなす方向に速さ \(v_A\) で進み、Bが角度 \(\beta\) で速さ \(v_B\) で進むとします。
x成分の運動量保存：
$$mv_0 = mv_A \cos\alpha + mv_B \cos\beta \quad \cdots (1)$$y成分の運動量保存：
$$0 = mv_A \sin\alpha - mv_B \sin\beta \quad \cdots (2)$$等質量なので \(m\) が消え、2式から \(v_B\) と \(\beta\) を求められます。
途中計算：式(2)より
$$v_B \sin\beta = v_A \sin\alpha \quad \cdots (2')$$式(1)より
$$v_B \cos\beta = v_0 - v_A \cos\alpha \quad \cdots (1')$$(2')÷(1')で \(\tan\beta\) が求まり、(1')² + (2')² で \(v_B^2\) が求まります：
$$\tan\beta = \frac{v_A \sin\alpha}{v_0 - v_A \cos\alpha}$$ $$v_B^2 = v_A^2 \sin^2\alpha + (v_0 - v_A \cos\alpha)^2$$y成分: \(v_B \sin\beta = v_A \sin\alpha\)
x成分: \(v_B \cos\beta = v_0 - v_A \cos\alpha\)
これらを2乗して足すと \(v_B\) が、割り算で \(\tan\beta\) が求まります。
反発係数 $e$ の定義は：
$$e = -\frac{v_1^{\prime} - v_2^{\prime}}{v_1 - v_2}$$完全弾性衝突（$e = 1$）では運動エネルギーも保存されます。
2次元の運動量保存はx,y成分を独立に立てます。未知数が2つなら連立方程式で解けます。
上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。
\(m_A = 2.0\) kg, \(v_A = 3.0\) m/s (x 方向), \(m_B = 1.0\) kg, \(v_B = 4.0\) m/s (y 方向) とする:
$$p_x = m_A v_A = 2.0 \times 3.0 = 6.0 \text{ kg·m/s}$$ $$p_y = m_B v_B = 1.0 \times 4.0 = 4.0 \text{ kg·m/s}$$ $$V = \frac{\sqrt{p_x^2 + p_y^2}}{m_A + m_B} = \frac{\sqrt{36 + 16}}{3.0} = \frac{\sqrt{52}}{3.0} \fallingdotseq 2.40 \text{ m/s}$$記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。